Номер 184, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

184. Постройте график функции $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$. Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства.

Для решения данной задачи необходимо выполнить анализ функции, построить ее график, а затем найти её нули и определить промежутки, на которых функция сохраняет свой знак.

Постройте график функции $y = \frac{3x - 2}{x - 2}$

Данная функция является дробно-линейной. Для построения её графика, который представляет собой гиперболу, преобразуем выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{3x - 2}{x - 2} = \frac{3x - 6 + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2) + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2)}{x - 2} + \frac{4}{x - 2} = 3 + \frac{4}{x - 2}$

Итоговая функция: $y = \frac{4}{x - 2} + 3$.

Этот вид показывает, что график функции является результатом сдвига графика базовой гиперболы $y = \frac{4}{x}$:

• на 2 единицы вправо (так как в знаменателе $x-2$),
• на 3 единицы вверх (так как к дроби прибавляется 3).

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель равен нулю: $x - 2 = 0$, откуда $x = 2$.
• Горизонтальная асимптота определяется сдвигом по оси Y: $y = 3$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = \frac{3 \cdot 0 - 2}{0 - 2} = \frac{-2}{-2} = 1$. Координаты: $(0, 1)$.
• Точка пересечения с осью Ox (при $y=0$): $0 = \frac{3x - 2}{x - 2} \implies 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$. Координаты: $(\frac{2}{3}, 0)$.
• Дополнительные точки:
  • при $x=1$, $y = \frac{4}{1 - 2} + 3 = -1$. Точка $(1, -1)$.
  • при $x=3$, $y = \frac{4}{3 - 2} + 3 = 7$. Точка $(3, 7)$.
  • при $x=4$, $y = \frac{4}{4 - 2} + 3 = 5$. Точка $(4, 5)$.

На координатной плоскости строим пунктирными линиями асимптоты $x=2$ и $y=3$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными кривыми, получая две ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=3$, полученная сдвигом графика $y=4/x$ на 2 единицы вправо и 3 единицы вверх.

Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$.

$\frac{3x - 2}{x - 2} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.

При $x = \frac{2}{3}$ знаменатель $x-2 = \frac{2}{3}-2 = -\frac{4}{3} \neq 0$. Значит, $x = \frac{2}{3}$ — единственный нуль функции.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Эти интервалы определяются нулями функции и точками разрыва (вертикальными асимптотами). В данном случае это точки $x = \frac{2}{3}$ и $x = 2$. Они разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}, 2)$ и $(2, +\infty)$.

Определим знак функции на каждом из интервалов методом пробных точек:

• Интервал $(-\infty, \frac{2}{3})$: возьмем $x=0$. $y(0) = 1 > 0$. Следовательно, $y > 0$ на этом интервале.
• Интервал $(\frac{2}{3}, 2)$: возьмем $x=1$. $y(1) = \frac{3 \cdot 1 - 2}{1 - 2} = -1 < 0$. Следовательно, $y < 0$ на этом интервале.
• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$. $y(3) = \frac{3 \cdot 3 - 2}{3 - 2} = 7 > 0$. Следовательно, $y > 0$ на этом интервале.

Ответ: Нуль функции: $x = \frac{2}{3}$. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 2)$.