Номер 180, страница 64 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

180. Укажите асимптоты гиперболы:

а) $y = \frac{10}{x-3} - 2$;

б) $y = \frac{8}{x+2} - 3$.

a)

Уравнение гиперболы вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ имеет две асимптоты: вертикальную и горизонтальную.

Вертикальная асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко по вертикали. Она соответствует значению $x$, при котором знаменатель дроби равен нулю (так как на ноль делить нельзя, и в этой точке функция не определена). Для функции $y = \frac{10}{x-3} - 2$ найдем вертикальную асимптоту, приравняв знаменатель к нулю:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Таким образом, вертикальная асимптота — это прямая $x = 3$.

Горизонтальная асимптота — это прямая, к которой график функции приближается бесконечно близко при $x$, стремящемся к положительной или отрицательной бесконечности ($x \to \pm\infty$). Когда $x$ становится очень большим по модулю, значение дроби $\frac{10}{x-3}$ стремится к нулю. Тогда значение $y$ стремится к постоянной величине:

$y \to 0 - 2 = -2$

Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -2$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=3$, горизонтальная асимптота $y=-2$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \frac{8}{x+2} - 3$.

Найдем вертикальную асимптоту. Для этого приравняем знаменатель дроби к нулю:

$x + 2 = 0$

$x = -2$

Следовательно, вертикальная асимптота — это прямая $x = -2$.

Найдем горизонтальную асимптоту. При $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{8}{x+2}$ стремится к нулю. Тогда значение $y$ стремится к:

$y \to 0 - 3 = -3$

Следовательно, горизонтальная асимптота — это прямая $y = -3$.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-2$, горизонтальная асимптота $y=-3$.