Номер 177, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

177. Постройте график функции:

а) $y=(x-2)^2$;

б) $y=-\frac{1}{2}x^2+5$;

в) $y=2x^2+5x.

а)

График функции $y = (x - 2)^2$ — это парабола. Её можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы вправо.

Основные характеристики параболы:

• Вершина параболы: Стандартная парабола $y = x^2$ имеет вершину в точке $(0, 0)$. При сдвиге на 2 единицы вправо вершина перемещается в точку $(2, 0)$.
• Ось симметрии: Прямая, проходящая через вершину параллельно оси ординат. Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
• Направление ветвей: Коэффициент при квадратичном члене положителен (равен 1), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе:

• Если $x = 2$, то $y = (2 - 2)^2 = 0$. Точка $(2, 0)$ — вершина.
• Если $x = 1$, то $y = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x = 3$, то $y = (3 - 2)^2 = 1^2 = 1$. Точка $(3, 1)$.
• Если $x = 0$, то $y = (0 - 2)^2 = 4$. Точка $(0, 4)$ — пересечение с осью Oy.
• Если $x = 4$, то $y = (4 - 2)^2 = 2^2 = 4$. Точка $(4, 4)$.

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2$ — парабола с вершиной в точке $(2, 0)$, ветви которой направлены вверх, а осью симметрии является прямая $x = 2$. График проходит через точки $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(0, 4)$, $(4, 4)$.

б)

График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ — это парабола. Её можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:

1. Отражение относительно оси абсцисс (Ox) из-за отрицательного коэффициента.
2. Вертикальное сжатие в 2 раза (коэффициент $\frac{1}{2}$).
3. Сдвиг (параллельный перенос) вдоль оси ординат (Oy) на 5 единиц вверх.

Найдем ключевые характеристики параболы:

• Вершина параболы: Данная функция имеет вид $y = ax^2+c$, её вершина находится в точке $(0, c)$. В нашем случае вершина находится в точке $(0, 5)$.
• Ось симметрии: Так как горизонтального сдвига нет, осью симметрии является ось ординат (Oy), её уравнение $x = 0$.
• Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем несколько точек:

• Если $x = 0$, то $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$ — вершина.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{1}{2}(2)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$. Точка $(2, 3)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{1}{2}(-2)^2 + 5 = -2 + 5 = 3$. Точка $(-2, 3)$.
• Если $x = 4$, то $y = -\frac{1}{2}(4)^2 + 5 = -8 + 5 = -3$. Точка $(4, -3)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{1}{2}(-4)^2 + 5 = -8 + 5 = -3$. Точка $(-4, -3)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 5$ — парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветви которой направлены вниз, а осью симметрии является прямая $x = 0$ (ось Oy). График проходит через точки $(2, 3)$, $(-2, 3)$, $(4, -3)$, $(-4, -3)$.

в)

График функции $y = 2x^2 + 5x$ — это парабола. Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 2$, $b = 5$, $c = 0$.

Для построения графика найдем его основные элементы:

1. Направление ветвей: Коэффициент $a = 2$ положителен ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы: Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:
   $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} = -1.25$
   $y_0 = y(x_0) = 2(-\frac{5}{4})^2 + 5(-\frac{5}{4}) = 2(\frac{25}{16}) - \frac{25}{4} = \frac{25}{8} - \frac{50}{8} = -\frac{25}{8} = -3.125$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1.25, -3.125)$.
3. Ось симметрии: Прямая, проходящая через вершину, $x = x_0$. Уравнение оси симметрии: $x = -1.25$.
4. Точки пересечения с осями координат:
   • С осью ординат (Oy): подставляем $x = 0$.
     $y = 2(0)^2 + 5(0) = 0$. Точка пересечения с Oy — $(0, 0)$.
   • С осью абсцисс (Ox): подставляем $y = 0$.
     $2x^2 + 5x = 0$
     $x(2x + 5) = 0$
     $x_1 = 0$ или $2x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$.
     Точки пересечения с Ox — $(0, 0)$ и $(-2.5, 0)$.
5. Дополнительные точки: Для более точного построения найдем еще пару симметричных точек. Возьмем $x = 1$:
   $y = 2(1)^2 + 5(1) = 2 + 5 = 7$. Точка $(1, 7)$.
   Симметричная ей точка относительно оси $x = -1.25$ будет иметь координату $x = -1.25 - (1 - (-1.25)) = -1.25 - 2.25 = -3.5$. Точка $(-3.5, 7)$.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 5x$ — парабола с вершиной в точке $(-1.25, -3.125)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — прямая $x = -1.25$. Парабола пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(-2.5, 0)$.