Номер 3, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3 Сформулируйте свойства степенной функции с нечётным показателем $n$. Покажите схематически, как выглядит график этой функции при $n > 1$.

Свойства степенной функции с нечётным показателем n

Рассмотрим степенную функцию вида $y = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число, большее 1 (например, $n=3, 5, 7, \dots$).

• Область определения: Вся числовая прямая, так как выражение $x^n$ имеет смысл для любого действительного числа $x$. Записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: Множество всех действительных чисел. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$, а при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Записывается как $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.
• Чётность/нечётность: Функция является нечётной. Это свойство следует из того, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство: $y(-x) = (-x)^n = (-1)^n \cdot x^n = -x^n = -y(x)$, поскольку $n$ — нечётное число. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (0,0).
• Нули функции: Функция равна нулю только при $x=0$. Таким образом, график пересекает оси координат в единственной точке — начале координат (0,0).
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.
• Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$. Её производная $y' = nx^{n-1}$. Поскольку $n>1$ и $n$ нечётное, показатель степени $n-1$ является чётным и неотрицательным числом. Следовательно, $x^{n-1} \ge 0$ для всех $x$, а значит и производная $y' \ge 0$ (равенство достигается только при $x=0$).
• Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума или минимума. Точка $x=0$ является критической, но не точкой экстремума, так как производная не меняет знак при переходе через неё.
• Выпуклость и точки перегиба: Вторая производная $y'' = n(n-1)x^{n-2}$. Поскольку $n>1$ и $n$ нечётное, показатель $n-2$ является нечётным.
  • При $x < 0$ вторая производная $y'' < 0$, следовательно, на промежутке $(-\infty; 0)$ функция выпукла вверх.
  • При $x > 0$ вторая производная $y'' > 0$, следовательно, на промежутке $(0; +\infty)$ функция выпукла вниз (вогнута).
  Точка $(0,0)$ является точкой перегиба, так как в ней меняется направление выпуклости графика.

Ответ: Степенная функция $y=x^n$ с нечётным натуральным показателем $n>1$ определена, непрерывна и строго возрастает на всей числовой оси. Её область определения и область значений — множество всех действительных чисел. Функция является нечётной, её график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба. Функция не имеет экстремумов.

Схематический график функции при n > 1

График функции $y = x^n$ при нечётном $n > 1$ (например, для $n=3$ это кубическая парабола) представляет собой кривую, расположенную в I и III координатных четвертях. Он проходит через начало координат, где имеет горизонтальную касательную, и симметричен относительно этой точки. С ростом $n$ график становится более "плоским" на интервале $(-1, 1)$ и более "крутым" за его пределами.

Ответ: Схематический график функции $y = x^n$ с нечётным показателем $n>1$ представлен на рисунке. Это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат, которая проходит через точки $(-1, -1), (0, 0), (1, 1)$ и имеет в точке $(0,0)$ перегиб.