Страница 57 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

158. Докажите, что:

a) число $\frac{1}{2}$ есть арифметический корень четвёртой степени из $\frac{1}{16}$;

б) число 3 есть арифметический кубический корень из 27;

в) число -2 не является арифметическим корнем четвёртой степени из 16;

г) число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001.

а) Чтобы доказать, что число $\frac{1}{2}$ является арифметическим корнем четвёртой степени из $\frac{1}{16}$, необходимо, согласно определению арифметического корня, проверить два условия:
1. Число $\frac{1}{2}$ должно быть неотрицательным. Это условие выполняется, так как $\frac{1}{2} > 0$.
2. Четвёртая степень числа $\frac{1}{2}$ должна быть равна $\frac{1}{16}$. Проверим это равенство: $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$. Это условие также выполняется.
Так как оба условия определения выполнены, утверждение доказано.

Ответ: число $\frac{1}{2}$ является арифметическим корнем четвёртой степени из $\frac{1}{16}$, так как $\frac{1}{2} \ge 0$ и $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

б) Чтобы доказать, что число 3 является арифметическим кубическим корнем из 27, проверим выполнение двух условий из определения.
1. Число 3 должно быть неотрицательным. Это верно, так как $3 > 0$.
2. Куб числа 3 должен равняться 27. Выполним вычисление: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Это также верно.
Поскольку оба условия выполняются, утверждение доказано.

Ответ: число 3 является арифметическим кубическим корнем из 27, так как $3 \ge 0$ и $3^3 = 27$.

в) Чтобы доказать, что число -2 не является арифметическим корнем четвёртой степени из 16, обратимся к определению. Арифметический корень $n$-й степени из неотрицательного числа по определению является неотрицательным числом.
Число -2 отрицательное ($-2 < 0$), поэтому оно не может быть арифметическим корнем.
Хотя равенство $(-2)^4 = 16$ верно, -2 не является арифметическим корнем из 16 из-за своей отрицательности. Арифметическим корнем четвёртой степени из 16 является число 2.

Ответ: число -2 не является арифметическим корнем четвёртой степени из 16, так как арифметический корень по определению не может быть отрицательным числом.

г) Чтобы доказать, что число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001, нужно проверить, выполняется ли для этих чисел основное свойство корня: $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
В данном случае мы должны проверить, равно ли $0,1^5$ числу 0,0001.
Вычислим степень: $0,1^5 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,00001$.
Сравним полученный результат с числом из условия: $0,00001 \ne 0,0001$.
Поскольку равенство не выполняется, число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001.

Ответ: число 0,1 не является арифметическим корнем пятой степени из 0,0001, так как $0,1^5 = 0,00001$, а не 0,0001.

159. Докажите, что верно равенство:

a) $\sqrt{361} = 19;$

б) $\sqrt[3]{343} = 7;$

в) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2};$

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3};$

д) $\sqrt[10]{1} = 1;$

е) $\sqrt[7]{0} = 0;$

ж) $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3};$

з) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2.$

а) Чтобы доказать равенство $\sqrt{361} = 19$, по определению арифметического квадратного корня нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее квадрат должен быть равен подкоренному выражению.
1. $19 \ge 0$. Условие выполняется.
2. $19^2 = 19 \times 19 = 361$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

б) Чтобы доказать равенство $\sqrt[3]{343} = 7$, по определению корня нечетной степени нужно проверить, что куб правой части равен подкоренному выражению.
Возведем $7$ в куб: $7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$.
Равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

в) Чтобы доказать равенство $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$, по определению арифметического корня четной степени нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее шестая степень должна быть равна подкоренному выражению.
1. $\frac{1}{2} \ge 0$. Условие выполняется.
2. $(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

г) Чтобы доказать равенство $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$, по определению корня нечетной степени нужно проверить, что пятая степень правой части равна подкоренному выражению.
Возведем $\frac{2}{3}$ в пятую степень: $(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$.
Равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

д) Чтобы доказать равенство $\sqrt[10]{1} = 1$, по определению арифметического корня четной степени нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее десятая степень должна быть равна подкоренному выражению.
1. $1 \ge 0$. Условие выполняется.
2. $1^{10} = 1$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

е) Чтобы доказать равенство $\sqrt[7]{0} = 0$, по определению корня нечетной степени нужно проверить, что седьмая степень правой части равна подкоренному выражению.
Возведем $0$ в седьмую степень: $0^7 = 0$.
Равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

ж) Чтобы доказать равенство $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$, по определению арифметического квадратного корня нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее квадрат должен быть равен подкоренному выражению.
1. Проверим, что $2 - \sqrt{3} \ge 0$. Сравним $2$ и $\sqrt{3}$. Так как $2^2 = 4$ и $(\sqrt{3})^2 = 3$, а $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$, следовательно, $2 - \sqrt{3} > 0$. Условие выполняется.
2. Возведем выражение $2 - \sqrt{3}$ в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

з) Чтобы доказать равенство $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - 2$, по определению арифметического квадратного корня нужно проверить выполнение двух условий: правая часть должна быть неотрицательной, и ее квадрат должен быть равен подкоренному выражению.
1. Проверим, что $\sqrt{5} - 2 \ge 0$. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Так как $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $2^2 = 4$, а $5 > 4$, то $\sqrt{5} > 2$, следовательно, $\sqrt{5} - 2 > 0$. Условие выполняется.
2. Возведем выражение $\sqrt{5} - 2$ в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5} - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$. Условие выполняется.
Поскольку оба условия выполнены, равенство верно.
Ответ: Равенство верно.

160. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt[4]{16}$;

б) $\sqrt[5]{32}$;

в) $\sqrt[12]{1}$;

г) $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$;

д) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$;

е) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{16}$, необходимо найти число, которое при возведении в четвертую степень даст 16. Таким числом является 2, поскольку $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: $2$.

б) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[5]{32}$, необходимо найти число, которое при возведении в пятую степень даст 32. Таким числом является 2, поскольку $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Следовательно, $\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: $2$.

в) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[12]{1}$, необходимо найти число, которое при возведении в двенадцатую степень даст 1. Любая степень числа 1 равна 1, то есть $1^{12} = 1$.
Следовательно, $\sqrt[12]{1} = 1$.
Ответ: $1$.

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$, необходимо найти число, которое при возведении в куб даст $-\frac{1}{8}$. Так как степень корня (3) нечетная, корень из отрицательного числа является отрицательным числом. Можно воспользоваться свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{-1}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$.
Проверка: $(-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1^3}{2^3} = -\frac{1}{8}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

д) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.
Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$.
Так как $3^4 = 81$ и $2^4 = 16$, получаем:
$\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

е) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Теперь извлечем корень из дроби:
$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$.
Так как $3^3 = 27$ и $2^3 = 8$, получаем:
$\frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

161. Вычислите:

а) $ \sqrt[9]{512}; $

б) $ \sqrt[3]{1331}; $

в) $ \sqrt[8]{0}; $

г) $ \sqrt[5]{-243}; $

д) $ \sqrt[4]{\frac{16}{625}}; $

е) $ \sqrt[6]{\frac{64}{729}}.$

а) Чтобы вычислить корень девятой степени из 512, необходимо найти число, которое при возведении в девятую степень равно 512. Таким числом является 2, поскольку $2^9 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 512$.
Таким образом, $\sqrt[9]{512} = \sqrt[9]{2^9} = 2$.
Ответ: 2

б) Чтобы вычислить корень третьей степени (кубический корень) из 1331, необходимо найти число, которое при возведении в куб равно 1331. Проверим число 11.
$11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 121 \times 11 = 1331$.
Следовательно, $\sqrt[3]{1331} = \sqrt[3]{11^3} = 11$.
Ответ: 11

в) Чтобы вычислить корень восьмой степени из 0, необходимо найти число, которое при возведении в восьмую степень равно 0. Единственное число, которое удовлетворяет этому условию, — это 0.
$0^8 = 0$.
Следовательно, $\sqrt[8]{0} = 0$.
Ответ: 0

г) Чтобы вычислить корень пятой степени из -243, необходимо найти число, которое при возведении в пятую степень равно -243. Так как степень корня (5) — нечётное число, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным числом.
Сначала найдем число, которое в пятой степени дает 243. Это число 3, так как $3^5 = 243$.
Тогда $(-3)^5 = -243$.
Следовательно, $\sqrt[5]{-243} = \sqrt[5]{(-3)^5} = -3$.
Ответ: -3

д) Для вычисления корня из дроби используем свойство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.
$\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}}$.
Находим корень числителя: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
Находим корень знаменателя: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.
В результате получаем: $\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

е) Аналогично предыдущему пункту, используем свойство корня из дроби.
$\sqrt[6]{\frac{64}{729}} = \frac{\sqrt[6]{64}}{\sqrt[6]{729}}$.
Находим корень числителя: $\sqrt[6]{64} = 2$, так как $2^6 = 64$.
Находим корень знаменателя: $\sqrt[6]{729} = 3$, так как $3^6 = (3^2)^3 = 9^3 = 729$.
В результате получаем: $\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

162. На рисунке 44 дан график функции

$y = x^3$. C помощью этого графика

найдите:

а) $\sqrt[3]{5}$;

б) $\sqrt[3]{-4}$;

в) $\sqrt[3]{-2}$;

г) $\sqrt[3]{2}$.

Рис. 44

Чтобы найти значение кубического корня из числа $a$, то есть $\sqrt[3]{a}$, с помощью графика функции $y=x^3$, нужно найти на оси ординат (оси $y$) точку со значением $a$, провести из неё горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустить или поднять перпендикуляр на ось абсцисс (ось $x$). Координата точки на оси $x$ и будет искомым значением.

а) Чтобы найти $\sqrt[3]{5}$, находим на оси $y$ значение $5$. Проводим горизонтальную линию от этой точки вправо до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось $x$. Полученная точка на оси $x$ находится примерно посередине между делениями $1,6$ и $1,8$, что соответствует значению $x \approx 1,7$.
Проверка: $1,7^3 = 4,913$, что очень близко к 5.
Ответ: $\sqrt[3]{5} \approx 1,7$.

б) Чтобы найти $\sqrt[3]{-4}$, находим на оси $y$ значение $-4$. Проводим горизонтальную линию от этой точки влево до пересечения с графиком. Из полученной точки пересечения проводим вертикальную линию вверх до оси $x$. Точка на оси $x$ практически совпадает со значением $-1,6$.
Проверка: $(-1,6)^3 = -4,096$, что очень близко к -4.
Ответ: $\sqrt[3]{-4} \approx -1,6$.

в) Чтобы найти $\sqrt[3]{-2}$, находим на оси $y$ значение $-2$. Проводим горизонтальную линию от этой точки влево до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим вертикальную линию до оси $x$. Полученная точка на оси $x$ находится между $-1,2$ и $-1,4$. Визуальная оценка дает значение примерно $x \approx -1,25$.
Проверка: $(-1,25)^3 = -1,953125$, что близко к -2.
Ответ: $\sqrt[3]{-2} \approx -1,25$.

г) Чтобы найти $\sqrt[3]{2}$, находим на оси $y$ значение $2$. Проводим горизонтальную линию от этой точки вправо до пересечения с графиком. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось $x$. Полученная точка на оси $x$ находится между $1,2$ и $1,4$. В силу того, что функция $y=x^3$ является нечётной и её график симметричен относительно начала координат, искомое значение будет противоположно значению из пункта в). Таким образом, $x \approx 1,25$.
Проверка: $1,25^3 = 1,953125$, что близко к 2.
Ответ: $\sqrt[3]{2} \approx 1,25$.

163. Используя график функции $y = x^4$ (см. рис. 41), найдите:

a) $\sqrt[4]{2}$;

б) $\sqrt[4]{5}$;

в) $\sqrt[4]{8}$.

Рис. 41

Чтобы решить данную задачу, необходимо использовать график функции $y = x^4$. Чтобы найти значение $\sqrt[4]{a}$, мы должны найти значение $x$ на графике, которому соответствует значение $y=a$. Для этого мы находим значение $a$ на оси ординат ($y$), проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком функции, а затем из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс ($x$), чтобы найти соответствующее значение $x$.

а) $\sqrt[4]{2}$
Чтобы найти значение $\sqrt[4]{2}$, мы ищем значение $x$, при котором $y=2$. Найдём на оси $y$ отметку 2. Проведём горизонтальную линию от этой отметки до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения опустим вертикальную линию на ось $x$. Эта линия попадёт в точку, очень близкую к $x=1.2$. Следовательно, по графику, $\sqrt[4]{2} \approx 1.2$.
Ответ: $\sqrt[4]{2} \approx 1.2$

б) $\sqrt[4]{5}$
Чтобы найти значение $\sqrt[4]{5}$, мы ищем значение $x$, при котором $y=5$. Найдём на оси $y$ отметку 5. Проведём горизонтальную линию от этой отметки до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения опустим вертикальную линию на ось $x$. Эта линия попадёт в точку, которая находится посередине между отметками 1.4 и 1.6, что соответствует значению $x=1.5$. Следовательно, по графику, $\sqrt[4]{5} \approx 1.5$.
Ответ: $\sqrt[4]{5} \approx 1.5$

в) $\sqrt[4]{8}$
Чтобы найти значение $\sqrt[4]{8}$, мы ищем значение $x$, при котором $y=8$. Найдём на оси $y$ отметку 8. Проведём горизонтальную линию от этой отметки до пересечения с графиком функции. Из точки пересечения опустим вертикальную линию на ось $x$. Эта линия попадёт в точку, которая находится посередине между отметками 1.6 и 1.8, что соответствует значению $x=1.7$. Следовательно, по графику, $\sqrt[4]{8} \approx 1.7$.
Ответ: $\sqrt[4]{8} \approx 1.7$