Страница 52 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

136. Функция задана формулой $y = x^{36}$. Сравните с нулём значение этой функции при $x = -5; 0; 3.$

Для того чтобы сравнить значение функции $y = x^{36}$ с нулём при заданных значениях $x$, необходимо подставить эти значения в формулу и проанализировать результат. Ключевым свойством данной функции является то, что показатель степени (36) — чётное число.

Подставим в функцию значение $x = -5$: $y = (-5)^{36}$. При возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда является положительным числом. Так как любое положительное число больше нуля, то $y > 0$.
Ответ: $y > 0$.

Подставим в функцию значение $x = 0$: $y = 0^{36}$. Возведение нуля в любую положительную степень даёт в результате ноль. Следовательно, $y = 0$.
Ответ: $y = 0$.

Подставим в функцию значение $x = 3$: $y = 3^{36}$. При возведении положительного числа в любую степень результат всегда является положительным числом. Таким образом, $y > 0$.
Ответ: $y > 0$.

137. Сравните с нулём значение функции $y = x^{49}$ при $x = -9; 0; 7.$

Чтобы сравнить с нулём значение функции $y = x^{49}$ при заданных значениях $x$, необходимо определить знак результата. Знак значения степенной функции $y = x^n$ зависит от знака основания $x$ и чётности показателя степени $n$. В данном случае показатель степени $n=49$ является нечётным числом.

при $x = -9$
Подставим значение $x = -9$ в функцию: $y = (-9)^{49}$.
Поскольку основание степени $(-9)$ отрицательное, а показатель степени $(49)$ — нечётное число, результат будет отрицательным. Возведение отрицательного числа в нечётную степень всегда даёт отрицательный результат.
Следовательно, $y < 0$.
Ответ: значение функции меньше нуля.

при $x = 0$
Подставим значение $x = 0$ в функцию: $y = 0^{49}$.
Ноль, возведённый в любую положительную степень (в данном случае в степень 49), равен нулю.
Следовательно, $y = 0$.
Ответ: значение функции равно нулю.

при $x = 7$
Подставим значение $x = 7$ в функцию: $y = 7^{49}$.
Поскольку основание степени $(7)$ положительное, результат возведения в любую степень также будет положительным.
Следовательно, $y > 0$.
Ответ: значение функции больше нуля.

138. Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Сравните:

а) $f(3.7)$ и $f(4.2)$;

б) $f(-5.2)$ и $f(-6.5)$;

в) $f(-7)$ и $f(6)$;

г) $f(31)$ и $f(-28)$.

Функция задана формулой $f(x) = x^{20}$. Так как показатель степени 20 является четным числом, данная функция является четной. Это значит, что $f(-x) = (-x)^{20} = x^{20} = f(x)$ для любого значения $x$. График такой функции симметричен относительно оси ординат.

Также важно проанализировать монотонность функции:

• На промежутке $[0; +\infty)$ функция $f(x) = x^{20}$ является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.
• На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $f(x) = x^{20}$ является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.

Используем эти свойства для сравнения.

а) Сравнить $f(3,7)$ и $f(4,2)$.

Аргументы $x_1 = 3,7$ и $x_2 = 4,2$ оба положительны, то есть принадлежат промежутку возрастания функции $[0; +\infty)$.
Так как $3,7 < 4,2$, то и значения функции будут в таком же соотношении: $f(3,7) < f(4,2)$.
Проверка: $3,7^{20} < 4,2^{20}$.
Ответ: $f(3,7) < f(4,2)$.

б) Сравнить $f(-5,2)$ и $f(-6,5)$.

Аргументы $x_1 = -6,5$ и $x_2 = -5,2$ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку убывания функции $(-\infty; 0]$.
Так как $-6,5 < -5,2$, то для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(-6,5) > f(-5,2)$.
Проверка: $(-6,5)^{20} > (-5,2)^{20}$, так как $6,5^{20} > 5,2^{20}$.
Ответ: $f(-5,2) < f(-6,5)$.

в) Сравнить $f(-7)$ и $f(6)$.

Поскольку функция $f(x) = x^{20}$ является четной, мы можем записать: $f(-7) = (-7)^{20} = 7^{20} = f(7)$.
Теперь задача сводится к сравнению $f(7)$ и $f(6)$.
Аргументы $x_1=7$ и $x_2=6$ принадлежат промежутку возрастания $[0; +\infty)$.
Так как $7 > 6$, то $f(7) > f(6)$.
Следовательно, $f(-7) > f(6)$.
Ответ: $f(-7) > f(6)$.

г) Сравнить $f(31)$ и $f(-28)$.

Используем свойство четности функции: $f(-28) = (-28)^{20} = 28^{20} = f(28)$.
Теперь нам нужно сравнить $f(31)$ и $f(28)$.
Аргументы $x_1=31$ и $x_2=28$ принадлежат промежутку возрастания $[0; +\infty)$.
Так как $31 > 28$, то $f(31) > f(28)$.
Соответственно, $f(31) > f(-28)$.
Ответ: $f(31) > f(-28)$.

139. Функция задана формулой $g(x) = x^{35}$. Сравните:

а) g(8,9) и g(7,6);

б) g(-4,6) и g(-5,7);

в) g(-10) и g(7).

Дана функция $g(x) = x^{35}$. Показатель степени $35$ является нечетным числом. Степенная функция с нечетным натуральным показателем ($y=x^n$, где $n$ — нечетное) является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$, если $x_1 < x_2$, то и $g(x_1) < g(x_2)$. Иными словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

а) Сравним $g(8,9)$ и $g(7,6)$.

Сначала сравним аргументы функции: $8,9$ и $7,6$.
Очевидно, что $8,9 > 7,6$.
Поскольку функция $g(x) = x^{35}$ является возрастающей, то из $8,9 > 7,6$ следует, что $g(8,9) > g(7,6)$.
Ответ: $g(8,9) > g(7,6)$.

б) Сравним $g(-4,6)$ и $g(-5,7)$.

Сначала сравним аргументы функции: $-4,6$ и $-5,7$.
Поскольку $-4,6 > -5,7$, а функция $g(x) = x^{35}$ является возрастающей, то $g(-4,6) > g(-5,7)$.
Ответ: $g(-4,6) > g(-5,7)$.

в) Сравним $g(-10)$ и $g(7)$.

Сначала сравним аргументы функции: $-10$ и $7$.
Поскольку $-10 < 7$, а функция $g(x) = x^{35}$ является возрастающей, то $g(-10) < g(7)$.
Также можно провести сравнение, определив знаки значений функции. Аргумент $-10$ отрицателен, а показатель степени $35$ нечетный, значит, $g(-10) = (-10)^{35}$ будет отрицательным числом. Аргумент $7$ положителен, значит, $g(7) = 7^{35}$ будет положительным числом. Любое отрицательное число меньше любого положительного, следовательно, $g(-10) < g(7)$.
Ответ: $g(-10) < g(7)$.

140. Сравните:

а) $1,2^4$ и $1,5^4$;

б) $0,8^4$ и $0,7^4$;

в) $0,9^4$ и $1$;

г) $(-3,2)^4$ и $(-3,4)^4$;

д) $0,3^5$ и $0,8^5$;

е) $(-\frac{1}{3})^5$ и $(-\frac{1}{4})^5$.

а) Для сравнения чисел $1,2^4$ и $1,5^4$ воспользуемся свойством степенной функции $y=x^n$ с четным показателем. Показатель степени $n=4$ — четное положительное число. Для положительных оснований такая функция является возрастающей. Так как основания $1,2$ и $1,5$ положительны и $1,2 < 1,5$, то и значения степеней будут находиться в том же соотношении. Следовательно, $1,2^4 < 1,5^4$.
Ответ: $1,2^4 < 1,5^4$.

б) Сравниваем числа $0,8^4$ и $0,7^4$. Показатель степени $4$ — четное положительное число. Функция $y=x^4$ возрастает для всех $x > 0$. Основания $0,8$ и $0,7$ положительны, и так как $0,8 > 0,7$, то при возведении в четвертую степень знак неравенства сохранится. Таким образом, $0,8^4 > 0,7^4$.
Ответ: $0,8^4 > 0,7^4$.

в) Сравниваем числа $0,9^4$ и $1$. Число $1$ можно представить как $1^4$, так как $1$ в любой положительной степени равен $1$. Задача сводится к сравнению $0,9^4$ и $1^4$. Так как основание $0,9 < 1$, а показатель степени $4$ — положительное число, то при возведении в степень положительного числа, меньшего единицы, результат также будет меньше единицы. Следовательно, $0,9^4 < 1$.
Ответ: $0,9^4 < 1$.

г) Сравниваем числа $(-3,2)^4$ и $(-3,4)^4$. Так как показатель степени $4$ — четное число, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет положительным: $(-a)^n = a^n$ для четного $n$. Поэтому сравнение сводится к сравнению $3,2^4$ и $3,4^4$. Основания $3,2$ и $3,4$ положительны, и $3,2 < 3,4$. Функция $y=x^4$ является возрастающей для положительных значений аргумента, поэтому $3,2^4 < 3,4^4$. Значит, $(-3,2)^4 < (-3,4)^4$.
Ответ: $(-3,2)^4 < (-3,4)^4$.

д) Сравниваем числа $0,3^5$ и $0,8^5$. Показатель степени $5$ — нечетное положительное число. Степенная функция $y=x^5$ является возрастающей на всей числовой оси. Так как основание $0,3$ меньше основания $0,8$ ($0,3 < 0,8$), то и $0,3^5 < 0,8^5$.
Ответ: $0,3^5 < 0,8^5$.

е) Сравниваем числа $(-\frac{1}{3})^5$ и $(-\frac{1}{4})^5$. Показатель степени $5$ — нечетное положительное число. Функция $y=x^5$ является возрастающей для всех действительных чисел. Сначала сравним основания: $-\frac{1}{3}$ и $-\frac{1}{4}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $12$: $-\frac{1}{3} = -\frac{4}{12}$ и $-\frac{1}{4} = -\frac{3}{12}$. Так как $-4 < -3$, то $-\frac{4}{12} < -\frac{3}{12}$, следовательно, $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{4}$. Поскольку функция $y=x^5$ возрастающая, знак неравенства при возведении в степень сохранится: $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{4})^5$.
Ответ: $(-\frac{1}{3})^5 < (-\frac{1}{4})^5$.