Страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

120. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$ (м/с) с высоты $h_0$ (м). Высота $h$ (м), на которой окажется тело через $t$ (с), выражается формулой

$h = -\frac{gt^2}{2} + v_0t + h_0 (g \approx 10 \text{ м/с}^2).$

На рисунке 34 показан график зависимости $h$ от $t$ для случая, когда $h_0 = 20, v_0 = 15$. Найдите по графику:

а) сколько времени тело поднималось вверх;

б) сколько времени оно опускалось вниз;

в) какой наибольшей высоты достигло тело;

г) через сколько секунд тело упало на землю.

В задаче представлен график зависимости высоты $h$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) для тела, брошенного вертикально вверх. Движение описывается квадратичной функцией $h(t) = -\frac{gt^2}{2} + v_0t + h_0$. Согласно условию, начальная высота $h_0 = 20$ м, начальная скорость $v_0 = 15$ м/с, а ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с². Таким образом, уравнение движения, соответствующее графику, имеет вид: $h(t) = -5t^2 + 15t + 20$. Для решения задачи проанализируем предоставленный график.

а) сколько времени тело поднималось вверх

Подъем тела продолжается до тех пор, пока его высота увеличивается. На графике это соответствует восходящей части параболы до ее вершины. Вершина параболы представляет собой точку, в которой тело достигает максимальной высоты и его скорость становится равной нулю, после чего оно начинает падать. Чтобы найти время подъема, необходимо определить координату $t$ вершины параболы. Из графика видно, что пик кривой находится ровно посередине между отметками времени $t=1$ и $t=2$. Следовательно, время достижения максимальной высоты составляет $t = 1,5$ с. Так как движение началось в $t=0$, время подъема равно 1,5 секунды.
Ответ: 1,5 с.

б) сколько времени оно опускалось вниз

Падение тела начинается с момента достижения максимальной высоты и заканчивается в момент соприкосновения с землей (когда высота $h$ становится равной 0). Из пункта (а) мы знаем, что время подъема до максимальной высоты составляет $t_{подъема} = 1,5$ с. Момент падения на землю соответствует точке пересечения графика с горизонтальной осью времени $t$. По графику видно, что $h=0$ при $t=4$ с. Это общее время полета. Время опускания можно вычислить как разность между общим временем полета и временем подъема: $t_{опускания} = t_{общее} - t_{подъема} = 4 \text{ с} - 1,5 \text{ с} = 2,5 \text{ с}$.
Ответ: 2,5 с.

в) какой наибольшей высоты достигло тело

Наибольшая высота, достигнутая телом, — это значение высоты $h$ в вершине параболы. Мы уже установили, что вершина достигается в момент времени $t = 1,5$ с. Теперь найдем соответствующее значение высоты по вертикальной оси. Масштаб оси высот ($h$): 2 большие клетки соответствуют 5 метрам, значит, одна большая клетка равна 2,5 м. Вершина параболы находится на полклетки выше горизонтальной линии, соответствующей $h = 30$ м. Таким образом, максимальная высота равна: $h_{max} = 30 \text{ м} + 0,5 \times 2,5 \text{ м} = 30 \text{ м} + 1,25 \text{ м} = 31,25 \text{ м}$. Для проверки можно подставить $t=1,5$ с в уравнение движения: $h(1,5) = -5(1,5)^2 + 15(1,5) + 20 = -5(2,25) + 22,5 + 20 = -11,25 + 22,5 + 20 = 31,25$ м.
Ответ: 31,25 м.

г) через сколько секунд тело упало на землю

Тело упало на землю в тот момент времени, когда его высота $h$ стала равной нулю. На графике это точка, в которой парабола пересекает ось времени $t$. Из графика видно, что пересечение происходит в точке, где $t = 4$ с. Это и есть общее время полета тела до падения на землю.
Ответ: 4 с.

121. Квадратичная функция задана формулой:

Рис. 34

а) $y = x^2 - 4x + 7;$

б) $y = -2x^2 - 5x - 2.$

Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график.

a) $y = x^2 - 4x + 7$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны: $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$.
Поскольку коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Нахождение координат вершины параболы.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$

Вычисляем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = 2$ в уравнение функции:
$y_0 = 2^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(2, 3)$.

2. Ось симметрии и схематический график.
Осью симметрии параболы является вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = x_0$, то есть $x = 2$.
Для построения схематического графика наметим на координатной плоскости вершину $(2, 3)$ и ось симметрии $x=2$.
Найдем точку пересечения графика с осью $Oy$, подставив $x=0$ в уравнение:
$y(0) = 0^2 - 4(0) + 7 = 7$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 7)$.
Используя ось симметрии, найдем симметричную точку: $(4, 7)$.
Схематически график представляет собой параболу, проходящую через точки $(2, 3)$, $(0, 7)$ и $(4, 7)$, с ветвями, направленными вверх.

Ответ: Координаты вершины: $(2, 3)$, ось симметрии: $x = 2$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2, 3)$ и ветвями, направленными вверх.

б) $y = -2x^2 - 5x - 2$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны: $a = -2$, $b = -5$, $c = -2$.
Поскольку коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

1. Нахождение координат вершины параболы.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$

Вычисляем абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{4} = -1.25$.
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = -\frac{5}{4}$ в уравнение функции:
$y_0 = -2(-\frac{5}{4})^2 - 5(-\frac{5}{4}) - 2 = -2(\frac{25}{16}) + \frac{25}{4} - 2 = -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - \frac{16}{8} = \frac{9}{8} = 1.125$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$ или $(-1.25, 1.125)$.

2. Ось симметрии и схематический график.
Осью симметрии параболы является вертикальная прямая $x = x_0$, то есть $x = -\frac{5}{4}$.
Для построения схематического графика наметим на координатной плоскости вершину $( -1.25, 1.125)$ и ось симметрии $x = -1.25$.
Найдем точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -2$. Точка $(0, -2)$.
Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$): $-2x^2 - 5x - 2 = 0$. Умножим на $-1$: $2x^2 + 5x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -0.5$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2, 0)$ и $(-0.5, 0)$.
Схематически график представляет собой параболу, проходящую через вершину $( -1.25, 1.125)$ и точки пересечения с осями $(-2, 0)$, $(-0.5, 0)$, $(0, -2)$, с ветвями, направленными вниз.

Ответ: Координаты вершины: $(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$, ось симметрии: $x = -\frac{5}{4}$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-\frac{5}{4}, \frac{9}{8})$ и ветвями, направленными вниз.

122. Постройте график функции $y = -x^2 + 2x + 8$ и найдите, используя график:

а) значение функции при $x = 2,5; -0,5; -3;$

б) значения аргумента, при которых $y = 6; 0; -2;$

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Для построения графика функции $y = -x^2 + 2x + 8$ и анализа ее свойств, выполним несколько шагов.

1. Определение основных характеристик параболы.

Функция $y = -x^2 + 2x + 8$ является квадратичной, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1 < 0$), ветви параболы направлены вниз.

2. Нахождение вершины параболы.

Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам:
$x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{2}{2 \cdot (-1)} = - \frac{2}{-2} = 1$.
$y_v = -(1)^2 + 2(1) + 8 = -1 + 2 + 8 = 9$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 9)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (x=0):
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.

Пересечение с осью Ox (y=0, нули функции):
Решим уравнение $-x^2 + 2x + 8 = 0$.
Умножим на -1: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:
$x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Точки пересечения — $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

4. Построение графика.

Для большей точности найдем еще несколько точек. Используя симметрию относительно оси $x=1$:
Точке $(0, 8)$ симметрична точка $(2, 8)$.
При $x = -1$: $y = -(-1)^2 + 2(-1) + 8 = -1 - 2 + 8 = 5$. Точка $(-1, 5)$.
Точке $(-1, 5)$ симметрична точка $(3, 5)$.
При $x = -3$: $y = -(-3)^2 + 2(-3) + 8 = -9 - 6 + 8 = -7$. Точка $(-3, -7)$.
Точке $(-3, -7)$ симметрична точка $(5, -7)$.

Используя точки: $(-3, -7)$, $(-2, 0)$, $(-1, 5)$, $(0, 8)$, $(1, 9)$ (вершина), $(2, 8)$, $(3, 5)$, $(4, 0)$, $(5, -7)$, строим параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы задачи.

а) значение функции при $x = 2,5; -0,5; -3;$

Находим на оси $x$ заданные значения, проводим вертикальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующее значение $y$ на оси ординат.
- при $x = 2,5$, значение $y$ на графике находится между 5 и 8. Расчет дает: $y = -(2,5)^2 + 2(2,5) + 8 = -6,25 + 5 + 8 = 6,75$.
- при $x = -0,5$, значение $y$ на графике также находится между 5 и 8. Расчет дает: $y = -(-0,5)^2 + 2(-0,5) + 8 = -0,25 - 1 + 8 = 6,75$.
- при $x = -3$, из графика видно, что $y = -7$.
Ответ: при $x = 2,5, y = 6,75$; при $x = -0,5, y = 6,75$; при $x = -3, y = -7$.

б) значения аргумента, при которых $y = 6; 0; -2;$

Находим на оси $y$ заданные значения, проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующие значения $x$ на оси абсцисс.
- при $y = 6$, прямая пересекает параболу в двух точках. Их абсциссы приблизительно равны $x \approx -0,7$ и $x \approx 2,7$.
- при $y = 0$, точки пересечения — это нули функции. Из графика видно, что $x = -2$ и $x = 4$.
- при $y = -2$, прямая пересекает параболу в двух точках. Их абсциссы приблизительно равны $x \approx -2,3$ и $x \approx 4,3$.
Ответ: $y=6$ при $x \approx -0,7$ и $x \approx 2,7$; $y=0$ при $x=-2$ и $x=4$; $y=-2$ при $x \approx -2,3$ и $x \approx 4,3$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

Нули функции — это значения $x$, при которых $y=0$. Это точки пересечения графика с осью $Ox$.
Нули функции: $x = -2$ и $x = 4$.

Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
- Функция положительна ($y > 0$) там, где график находится выше оси $Ox$. Это происходит между нулями функции: при $x \in (-2, 4)$.
- Функция отрицательна ($y < 0$) там, где график находится ниже оси $Ox$. Это происходит левее $x=-2$ и правее $x=4$: при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.
Ответ: нули функции: $x_1 = -2, x_2 = 4$; $y > 0$ при $x \in (-2, 4)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (4, \infty)$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Вершина параболы $(1, 9)$ является точкой максимума.
Промежутки возрастания и убывания:
- Функция возрастает на промежутке, где график "идет вверх" (слева направо). Это происходит до вершины: на промежутке $(-\infty, 1]$.
- Функция убывает на промежутке, где график "идет вниз". Это происходит после вершины: на промежутке $[1, \infty)$.

Область значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Так как вершина $(1, 9)$ является точкой максимума и ветви параболы направлены вниз, функция принимает значения от $-\infty$ до $9$ включительно.
Область значений: $E(y) = (-\infty, 9]$.
Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 1]$, убывает на $[1, \infty)$; область значений функции: $(-\infty, 9]$.

123. Постройте график функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ и найдите, ис- пользуя график:

a) значение $y$ при $x = -2,3; -0,5; 1,2;

б) значения $x$, при которых $y = -4; -1; 7;

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Для построения графика функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ найдем ее основные характеристики. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$).

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$.
Подставляем $x_0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_0$: $y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -6)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy происходит при $x=0$: $y = 2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции) происходит при $y=0$: $2x^2 + 8x + 2 = 0$.
Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 + 4x + 1 = 0$.
Найдем корни через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Приблизительные значения корней: $x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.73$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.27$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2-\sqrt{3}, 0)$ и $(-2+\sqrt{3}, 0)$.

3. Построение графика.
Ось симметрии параболы — прямая $x=-2$. Используем найденные точки: вершину $(-2, -6)$, точку пересечения с осью Oy $(0, 2)$ и симметричную ей точку $(-4, 2)$, точки пересечения с осью Ox $(\approx -3.73, 0)$ и $(\approx -0.27, 0)$. Для большей точности найдем еще одну пару симметричных точек. Например, при $x=-1$: $y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 2 = -4$. Точка $(-1, -4)$ и симметричная ей точка $(-3, -4)$. На основе этих точек строим параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

а) значение у при x = -2,3; -0,5; 1,2
Находим на оси Ox заданные значения $x$, проводим вертикальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующие значения $y$ на оси Oy.

• При $x = -2,3$, $y \approx -5,8$.
• При $x = -0,5$, $y = -1,5$.
• При $x = 1,2$, $y \approx 14,5$.

Ответ: При $x = -2,3$, $y \approx -5,8$; при $x = -0,5$, $y = -1,5$; при $x = 1,2$, $y \approx 14,5$.

б) значения x, при которых y = -4; -1; 7
Находим на оси Oy заданные значения $y$, проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующие значения $x$ на оси Ox.

• При $y = -4$, получаем $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
• При $y = -1$, получаем $x_1 \approx -3,6$ и $x_2 \approx -0,4$.
• При $y = 7$, получаем $x_1 \approx -4,5$ и $x_2 \approx 0,5$.

Ответ: $y = -4$ при $x = -3$ и $x = -1$; $y = -1$ при $x \approx -3,6$ и $x \approx -0,4$; $y = 7$ при $x \approx -4,5$ и $x \approx 0,5$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства
Нули функции — это значения $x$, при которых график пересекает ось Ox. Из расчетов выше, это $x = -2 \pm \sqrt{3}$.
Промежутки знакопостоянства определяем по расположению графика относительно оси Ox.

• Функция положительна ($y > 0$) там, где парабола выше оси Ox: $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
• Функция отрицательна ($y < 0$) там, где парабола ниже оси Ox: $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

Ответ: Нули функции: $x_1 = -2 - \sqrt{3}$, $x_2 = -2 + \sqrt{3}$. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции
Анализируем поведение графика относительно вершины $(-2, -6)$.

• Функция убывает слева от вершины, то есть на промежутке $(-\infty; -2]$.
• Функция возрастает справа от вершины, то есть на промежутке $[-2; +\infty)$.

Наименьшее значение функция принимает в своей вершине, так как ветви параболы направлены вверх.
Наименьшее значение функции: $y_{min} = -6$.
Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$. Наименьшее значение функции равно -6.