Номер 123, страница 47 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

123. Постройте график функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ и найдите, ис- пользуя график:

a) значение $y$ при $x = -2,3; -0,5; 1,2;

б) значения $x$, при которых $y = -4; -1; 7;

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Для построения графика функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ найдем ее основные характеристики. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$).

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$: $x_0 = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$.
Подставляем $x_0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины $y_0$: $y_0 = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -6)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy происходит при $x=0$: $y = 2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.
Пересечение с осью Ox (нули функции) происходит при $y=0$: $2x^2 + 8x + 2 = 0$.
Разделим уравнение на 2 для упрощения: $x^2 + 4x + 1 = 0$.
Найдем корни через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Приблизительные значения корней: $x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.73$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.27$. Точки пересечения с осью Ox: $(-2-\sqrt{3}, 0)$ и $(-2+\sqrt{3}, 0)$.

3. Построение графика.
Ось симметрии параболы — прямая $x=-2$. Используем найденные точки: вершину $(-2, -6)$, точку пересечения с осью Oy $(0, 2)$ и симметричную ей точку $(-4, 2)$, точки пересечения с осью Ox $(\approx -3.73, 0)$ и $(\approx -0.27, 0)$. Для большей точности найдем еще одну пару симметричных точек. Например, при $x=-1$: $y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 2 = -4$. Точка $(-1, -4)$ и симметричная ей точка $(-3, -4)$. На основе этих точек строим параболу.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

а) значение у при x = -2,3; -0,5; 1,2
Находим на оси Ox заданные значения $x$, проводим вертикальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующие значения $y$ на оси Oy.

• При $x = -2,3$, $y \approx -5,8$.
• При $x = -0,5$, $y = -1,5$.
• При $x = 1,2$, $y \approx 14,5$.

Ответ: При $x = -2,3$, $y \approx -5,8$; при $x = -0,5$, $y = -1,5$; при $x = 1,2$, $y \approx 14,5$.

б) значения x, при которых y = -4; -1; 7
Находим на оси Oy заданные значения $y$, проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком и определяем соответствующие значения $x$ на оси Ox.

• При $y = -4$, получаем $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$.
• При $y = -1$, получаем $x_1 \approx -3,6$ и $x_2 \approx -0,4$.
• При $y = 7$, получаем $x_1 \approx -4,5$ и $x_2 \approx 0,5$.

Ответ: $y = -4$ при $x = -3$ и $x = -1$; $y = -1$ при $x \approx -3,6$ и $x \approx -0,4$; $y = 7$ при $x \approx -4,5$ и $x \approx 0,5$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства
Нули функции — это значения $x$, при которых график пересекает ось Ox. Из расчетов выше, это $x = -2 \pm \sqrt{3}$.
Промежутки знакопостоянства определяем по расположению графика относительно оси Ox.

• Функция положительна ($y > 0$) там, где парабола выше оси Ox: $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
• Функция отрицательна ($y < 0$) там, где парабола ниже оси Ox: $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

Ответ: Нули функции: $x_1 = -2 - \sqrt{3}$, $x_2 = -2 + \sqrt{3}$. Промежутки знакопостоянства: $y>0$ при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$; $y<0$ при $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции
Анализируем поведение графика относительно вершины $(-2, -6)$.

• Функция убывает слева от вершины, то есть на промежутке $(-\infty; -2]$.
• Функция возрастает справа от вершины, то есть на промежутке $[-2; +\infty)$.

Наименьшее значение функция принимает в своей вершине, так как ветви параболы направлены вверх.
Наименьшее значение функции: $y_{min} = -6$.
Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$. Наименьшее значение функции равно -6.