Номер 116, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

116. На рисунке 30 изображены графики функций:

а) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$;

б) $y = \frac{1}{3}(x - 4)^2 - 1$;

в) $y = \frac{1}{3}x^2 + 4$;

г) $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2$.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Рис. 30

Для сопоставления графиков с формулами проанализируем каждую функцию. Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ таков: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

а) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$. Формулу можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}(x - (-4))^2 + 0$. Следовательно, вершина этой параболы находится в точке с координатами $(-4, 0)$. На рисунке этому описанию соответствует синий график, расположенный слева.

Ответ: синий график с вершиной в точке $(-4, 0)$.

б) $y = \frac{1}{3}(x - 4)^2 - 1$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$. Вершина этой параболы находится в точке с координатами $(4, -1)$. На рисунке этому описанию соответствует синий график, расположенный справа.

Ответ: синий график с вершиной в точке $(4, -1)$.

в) $y = \frac{1}{3}x^2 + 4$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$. Формулу можно представить в виде $y = \frac{1}{3}(x - 0)^2 + 4$. Следовательно, вершина этой параболы находится в точке с координатами $(0, 4)$. На рисунке этому описанию соответствует черный график, расположенный в верхней части плоскости.

Ответ: черный график с вершиной в точке $(0, 4)$.

г) $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$. Формулу можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 - 2$. Следовательно, вершина этой параболы находится в точке с координатами $(0, -2)$. На рисунке этому описанию соответствует черный график, расположенный в нижней части плоскости.

Ответ: черный график с вершиной в точке $(0, -2)$.