Номер 110, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

110. Изобразите схематически график функции:

а) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1;$

б) $y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 1;$

в) $y = -4(x - 3)^2 + 5;$

г) $y = -4(x + 2)^2 - 2.$

а) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы.

1. Определение параметров:
Сравнивая с общей формой, имеем: $a = \frac{1}{2}$, $h = 2$, $k = 1$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(2, 1)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет шире, чем стандартная парабола $y = x^2$.

5. Ось симметрии:
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = h$, то есть $x = 2$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Оx и на 1 единицу вверх по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Для нахождения точки пересечения с осью Оy, подставим $x=0$ в уравнение: $y = \frac{1}{2}(0 - 2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(-2)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 1 = 2 + 1 = 3$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 3)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2, 1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, 3)$.

б) $y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 1$

Это уравнение квадратичной функции $y = a(x - h)^2 + k$. Заметим, что $x+3 = x - (-3)$.

1. Определение параметров:
$a = \frac{1}{2}$, $h = -3$, $k = -1$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(-3, -1)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет шире, чем $y = x^2$.

5. Ось симметрии:
Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = -3$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = \frac{1}{2}x^2$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси Оx и на 1 единицу вниз по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Подставим $x=0$: $y = \frac{1}{2}(0 + 3)^2 - 1 = \frac{1}{2}(3)^2 - 1 = \frac{1}{2} \cdot 9 - 1 = 4.5 - 1 = 3.5$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 3.5)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-3, -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, 3.5)$.

в) $y = -4(x - 3)^2 + 5$

Это уравнение квадратичной функции $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Определение параметров:
$a = -4$, $h = 3$, $k = 5$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(3, 5)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = 4 > 1$, парабола будет уже, чем стандартная парабола $y = x^2$ (растянута по вертикали).

5. Ось симметрии:
Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = 3$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = -4x^2$ путем сдвига на 3 единицы вправо по оси Оx и на 5 единиц вверх по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Подставим $x=0$: $y = -4(0 - 3)^2 + 5 = -4(-3)^2 + 5 = -4 \cdot 9 + 5 = -36 + 5 = -31$. Точка пересечения с осью OY — $(0, -31)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(3, 5)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, -31)$.

г) $y = -4(x + 2)^2 - 2$

Это уравнение квадратичной функции $y = a(x - h)^2 + k$. Заметим, что $x+2 = x - (-2)$.

1. Определение параметров:
$a = -4$, $h = -2$, $k = -2$.

2. Координаты вершины:
Вершина параболы находится в точке $(h, k)$, то есть в точке $(-2, -2)$.

3. Направление ветвей:
Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

4. Форма параболы:
Так как $|a| = 4 > 1$, парабола будет уже, чем $y = x^2$.

5. Ось симметрии:
Уравнение оси симметрии $x = h$, то есть $x = -2$.

6. Построение графика:
График данной функции можно получить из графика функции $y = -4x^2$ путем сдвига на 2 единицы влево по оси Оx и на 2 единицы вниз по оси Оy.

7. Точка пересечения с осью Оy:
Подставим $x=0$: $y = -4(0 + 2)^2 - 2 = -4(2)^2 - 2 = -4 \cdot 4 - 2 = -16 - 2 = -18$. Точка пересечения с осью OY — $(0, -18)$.

Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-2, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной и пересекает ось ординат в точке $(0, -18)$.