Номер 107, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

107. С помощью шаблона параболы $y = x^2$ постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4;$

б) $y = -x^2 + 3;$

в) $y = (x - 5)^2;$

г) $y = (x + 3)^2.$

Для построения графиков указанных функций используется метод преобразования графика базовой функции, которой в данном случае является парабола $y = x^2$. График этой параболы симметричен относительно оси OY, его вершина находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

а)

График функции $y = x^2 - 4$ получается из графика параболы $y = x^2$ с помощью параллельного переноса (сдвига). Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = -4$.

Поскольку $c < 0$, сдвиг выполняется вниз вдоль оси ординат (оси OY) на $|c| = 4$ единицы. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, -4)$. Форма параболы при этом не меняется.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = x^2 - 4$, необходимо сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси OY.

б)

Для построения графика функции $y = -x^2 + 3$ из графика $y = x^2$ необходимо выполнить два последовательных преобразования:

1. Сначала выполняется симметричное отражение графика $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси OX). В результате этого преобразования мы получаем график функции $y = -x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз, а вершина по-прежнему находится в точке $(0, 0)$.

2. Затем выполняется параллельный перенос графика $y = -x^2$ вверх вдоль оси ординат (оси OY) на 3 единицы, так как к функции прибавляется положительное число 3. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, 3)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -x^2 + 3$, нужно график параболы $y = x^2$ сначала отразить симметрично относительно оси OX, а затем полученный график сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси OY.

в)

График функции $y = (x - 5)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Это преобразование вида $y = f(x - l)$, где $f(x) = x^2$ и $l = 5$.

Поскольку $l > 0$, сдвиг выполняется вправо вдоль оси абсцисс (оси OX) на $l = 5$ единиц. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(5, 0)$. Форма параболы и направление ветвей не меняются.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = (x - 5)^2$, необходимо сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 5 единиц вправо вдоль оси OX.

г)

График функции $y = (x + 3)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Это преобразование можно представить в виде $y = f(x - l)$, переписав функцию как $y = (x - (-3))^2$. Здесь $f(x) = x^2$ и $l = -3$.

Поскольку $l < 0$, сдвиг выполняется влево вдоль оси абсцисс (оси OX) на $|l| = 3$ единицы. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(-3, 0)$. Форма параболы и направление ветвей не меняются.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = (x + 3)^2$, необходимо сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси OX.