Номер 111, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

111. Изобразите схематически график функции:

а) $y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$;

б) $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3.$

а) Для построения схематического графика функции $y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$ определим его основные характеристики. Данная функция является квадратичной, и её график — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы.
Сравнивая с заданным уравнением, находим параметры:
1. Коэффициент $a = \frac{1}{4}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(h, k) = (2, -3)$.
3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, её уравнение $x = h$, то есть $x = 2$.

Для более точного построения найдем точки пересечения с осями координат:
• Пересечение с осью OY (y-перехват): для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции.$y = \frac{1}{4}(0 - 2)^2 - 3 = \frac{1}{4}(-2)^2 - 3 = \frac{1}{4} \cdot 4 - 3 = 1 - 3 = -2$.Таким образом, точка пересечения с осью OY имеет координаты $(0, -2)$.
• Пересечение с осью OX (нули функции): для этого подставим $y = 0$ в уравнение.$0 = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$$3 = \frac{1}{4}(x - 2)^2$$12 = (x - 2)^2$$x - 2 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$x = 2 \pm 2\sqrt{3}$.Точки пересечения с осью OX: $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

Схематический график строится следующим образом: отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -3)$, проводим ось симметрии $x=2$, отмечаем точку пересечения с осью OY $(0, -2)$ и симметричную ей точку $(4, -2)$. Через эти точки проводим параболу с ветвями, направленными вверх.
Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2, -3)$, ветви которой направлены вверх. График пересекает ось ординат в точке $(0, -2)$ и ось абсцисс в точках $(2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

б) Для построения схематического графика функции $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3$ проанализируем её уравнение. Это также квадратичная функция (парабола) в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Уравнение можно переписать как $y = -\frac{1}{4}(x - (-2))^2 + 3$.
Определим параметры:
1. Коэффициент $a = -\frac{1}{4}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(h, k) = (-2, 3)$.
3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = h$, то есть $x = -2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:
• Пересечение с осью OY (y-перехват): подставим $x = 0$ в уравнение.$y = -\frac{1}{4}(0 + 2)^2 + 3 = -\frac{1}{4}(2)^2 + 3 = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 3 = -1 + 3 = 2$.Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
• Пересечение с осью OX (нули функции): подставим $y = 0$.$0 = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3$$\frac{1}{4}(x + 2)^2 = 3$$(x + 2)^2 = 12$$x + 2 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$$x = -2 \pm 2\sqrt{3}$.Точки пересечения с осью OX: $(-2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{3}, 0)$.

Схематический график строится так: отмечаем вершину $(-2, 3)$, проводим ось симметрии $x=-2$, отмечаем точку пересечения с OY $(0, 2)$ и симметричную ей точку $(-4, 2)$. Через эти точки проводим параболу с ветвями, направленными вниз.
Ответ: Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$, ветви которой направлены вниз. График пересекает ось ординат в точке $(0, 2)$ и ось абсцисс в точках $(-2 - 2\sqrt{3}, 0)$ и $(-2 + 2\sqrt{3}, 0)$.