Номер 113, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

113. С помощью шаблона параболы $y = x^2$ постройте график функции:

a) $y = (x + 3)^2 - 4;$

б) $y = -(x + 4)^2 - 2.$

Для построения графиков данных функций с помощью шаблона параболы $y = x^2$ необходимо выполнить последовательные преобразования (сдвиги и отражение) этого шаблона.

а) $y = (x + 3)^2 - 4$

График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ с помощью двух последовательных сдвигов:

1. Сначала строим график функции $y = (x + 3)^2$. Это парабола, полученная из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси абсцисс (OX) на 3 единицы влево. Вершина этой параболы будет в точке $(-3, 0)$.

2. Затем, чтобы получить график функции $y = (x + 3)^2 - 4$, нужно сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y = (x + 3)^2$ вдоль оси ординат (OY) на 4 единицы вниз. Вершина параболы переместится в точку $(-3, -4)$.

Таким образом, итоговый график — это парабола, идентичная параболе $y = x^2$, но ее вершина находится в точке $(-3, -4)$, а ветви направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^2 - 4$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем ее сдвига на 3 единицы влево по оси OX и на 4 единицы вниз по оси OY.

б) $y = -(x + 4)^2 - 2$

График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ с помощью трех последовательных преобразований:

1. Сначала рассмотрим функцию $y = -x^2$. Ее график получается из графика $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (OX). Ветви этой параболы будут направлены вниз, а вершина останется в точке $(0, 0)$.

2. Далее, чтобы получить график функции $y = -(x + 4)^2$, нужно сдвинуть график $y = -x^2$ вдоль оси абсцисс (OX) на 4 единицы влево. Вершина параболы переместится в точку $(-4, 0)$.

3. Наконец, чтобы получить итоговый график $y = -(x + 4)^2 - 2$, нужно сдвинуть полученный на предыдущем шаге график $y = -(x + 4)^2$ вдоль оси ординат (OY) на 2 единицы вниз. Вершина параболы переместится в точку $(-4, -2)$.

Таким образом, итоговый график — это парабола, вершина которой находится в точке $(-4, -2)$, а ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -(x + 4)^2 - 2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем ее отражения относительно оси OX, сдвига на 4 единицы влево по оси OX и на 2 единицы вниз по оси OY.