Номер 109, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

109. В каких координатных четвертях расположен график функции:

a) $y = 10x^2 + 5;$

б) $y = -7x^2 - 3;$

в) $y = -6x^2 + 8;$

г) $y = (x - 4)^2;$

д) $y = -(x - 8)^2;$

е) $y = -3(x + 5)^2?$

а) Для функции $y = 10x^2 + 5$ график представляет собой параболу. Коэффициент $a=10$ при $x^2$ положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0; 5)$. Поскольку вершина лежит на положительной полуоси OY, а ветви направлены вверх, весь график находится выше оси OX. Минимальное значение функции $y_{min} = 5$. Таким образом, при любых значениях $x$ (и положительных, и отрицательных) значение $y$ всегда будет положительным. Следовательно, график функции расположен в I и II координатных четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

б) Для функции $y = -7x^2 - 3$ график представляет собой параболу. Коэффициент $a=-7$ при $x^2$ отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0; -3)$. Поскольку вершина лежит на отрицательной полуоси OY, а ветви направлены вниз, весь график находится ниже оси OX. Максимальное значение функции $y_{max} = -3$. Таким образом, при любых значениях $x$ (и положительных, и отрицательных) значение $y$ всегда будет отрицательным. Следовательно, график функции расположен в III и IV координатных четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.

в) Для функции $y = -6x^2 + 8$ график представляет собой параболу. Коэффициент $a=-6$ при $x^2$ отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0; 8)$. Поскольку вершина лежит на положительной полуоси OY, а ветви направлены вниз, парабола пересекает ось OX. Найдем точки пересечения с осью OX, приравняв $y$ к нулю: $0 = -6x^2 + 8 \implies 6x^2 = 8 \implies x^2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \implies x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$. Так как вершина находится в верхней полуплоскости, а ветви уходят в нижнюю, пересекая ось OX в двух точках, график проходит через все четыре координатные четверти. Часть графика между корнями лежит в I и II четвертях, а части за пределами корней — в III и IV четвертях.
Ответ: в I, II, III и IV четвертях.

г) Для функции $y = (x - 4)^2$ график представляет собой параболу, смещенную из начала координат. Уравнение имеет вид $y = a(x-h)^2+k$, где $a=1$, $h=4$, $k=0$. Коэффициент $a=1 > 0$, значит ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(4; 0)$ на положительной полуоси OX. Так как вершина лежит на оси OX и ветви направлены вверх, все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Часть графика находится в I четверти (где $x>0, y>0$). Так как ось симметрии $x=4$, парабола также проходит через точки с отрицательным $x$. Например, при $x=-1$, $y=(-1-4)^2=25$. Точка $(-1; 25)$ лежит во II четверти. Следовательно, график расположен в I и II координатных четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

д) Для функции $y = -(x - 8)^2$ график представляет собой параболу. Уравнение имеет вид $y = a(x-h)^2+k$, где $a=-1$, $h=8$, $k=0$. Коэффициент $a=-1 < 0$, значит ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(8; 0)$ на положительной полуоси OX. Так как вершина лежит на оси OX и ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Часть графика находится в IV четверти (где $x>0, y<0$). Так как ось симметрии $x=8$, парабола также проходит через точки с отрицательным $x$. Например, при $x=-1$, $y=-(-1-8)^2=-81$. Точка $(-1; -81)$ лежит в III четверти. Следовательно, график расположен в III и IV координатных четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.

е) Для функции $y = -3(x + 5)^2$ график представляет собой параболу. Уравнение можно записать в виде $y = -3(x - (-5))^2 + 0$. Здесь $a=-3$, $h=-5$, $k=0$. Коэффициент $a=-3 < 0$, значит ветви направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(-5; 0)$ на отрицательной полуоси OX. Так как вершина лежит на оси OX и ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Часть графика находится в III четверти (где $x<0, y<0$). Так как ось симметрии $x=-5$, парабола также проходит через точки с положительным $x$. Например, при $x=1$, $y=-3(1+5)^2=-108$. Точка $(1; -108)$ лежит в IV четверти. Следовательно, график расположен в III и IV координатных четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.