Номер 104, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

104. Сократите дробь:

а) $ \frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2} $;

б) $ \frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2} $.

а) $\frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2}$

Для того чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить ее знаменатель на множители. Знаменатель $10a^2 - a - 2$ является квадратным трехчленом.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10a^2 - a - 2 = 0$ через дискриминант.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-2) = 1 + 80 = 81$

Корни уравнения находятся по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 10} = \frac{1 + 9}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 10} = \frac{1 - 9}{20} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители, используя формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$10a^2 - a - 2 = 10(a - \frac{1}{2})(a - (-\frac{2}{5})) = 10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5})$

Для удобства внесем множитель 10 в скобки, представив его как $2 \cdot 5$:

$10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5}) = (2(a - \frac{1}{2})) \cdot (5(a + \frac{2}{5})) = (2a - 1)(5a + 2)$

Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби и сократим общий множитель $(2a - 1)$:

$\frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2} = \frac{2a - 1}{(2a - 1)(5a + 2)} = \frac{1}{5a + 2}$

Ответ: $\frac{1}{5a + 2}$

б) $\frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2}$

Чтобы сократить эту дробь, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $6a^2 - 5a + 1$. Для этого найдем корни уравнения $6a^2 - 5a + 1 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Разложим числитель на множители:

$6a^2 - 5a + 1 = 6(a - \frac{1}{2})(a - \frac{1}{3}) = (2 \cdot (a - \frac{1}{2}))(3 \cdot (a - \frac{1}{3})) = (2a - 1)(3a - 1)$

2. Разложим на множители знаменатель $1 - 4a^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$1 - 4a^2 = 1^2 - (2a)^2 = (1 - 2a)(1 + 2a)$

3. Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2} = \frac{(2a - 1)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)}$

Множители $(2a - 1)$ и $(1 - 2a)$ являются противоположными, так как $2a - 1 = -(1 - 2a)$. Выполним замену и сократим дробь:

$\frac{-(1 - 2a)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)} = \frac{-(3a - 1)}{1 + 2a} = \frac{1 - 3a}{1 + 2a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a}{1 + 2a}$