Номер 99, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

99. Изобразите схематически графики функций $y = 0,01x^2$ и $y = 10x$. Графики этих функций имеют общую точку $O(0; 0)$. Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек.

1. Изображение схематических графиков

Для построения схематических графиков проанализируем каждую функцию.

Функция $y = 0,01x^2$ является квадратичной. Ее график — парабола.

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке (0; 0).
• Коэффициент при $x^2$ равен 0,01. Так как $0,01 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Малое значение коэффициента (0,01) означает, что парабола является очень "широкой", то есть ее ветви поднимаются медленно по сравнению со стандартной параболой $y=x^2$.

Функция $y = 10x$ является линейной. Ее график — прямая линия.

• Прямая проходит через начало координат (0; 0), так как при $x=0$ значение $y$ также равно 0.
• Угловой коэффициент $k=10$. Так как коэффициент положителен и велик, прямая сильно наклонена к положительному направлению оси Ox (является "крутой") и проходит через I и III координатные четверти.

Схематически, оба графика начинаются в точке O(0; 0). Прямая $y=10x$ вначале растет значительно быстрее, чем парабола $y=0,01x^2$. Однако, поскольку степень $x$ у параболы выше ($x^2$ против $x$), при больших значениях $x$ рост параболы ускоряется и в итоге она пересекает прямую еще раз в первой координатной четверти.

2. Поиск других общих точек

В условии сказано, что графики имеют общую точку O(0; 0). Чтобы выяснить, существуют ли другие общие точки, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = 0,01x^2 \\ y = 10x \end{cases}$

Приравняем правые части этих уравнений, так как в точках пересечения координаты $x$ и $y$ у графиков совпадают:

$0,01x^2 = 10x$

Для решения уравнения перенесем все его члены в одну сторону:

$0,01x^2 - 10x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0,01x - 10) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных значения для $x$:

1) $x_1 = 0$

2) $0,01x - 10 = 0$

Решим второе уравнение:

$0,01x = 10$

$x_2 = \frac{10}{0,01} = 1000$

Мы получили две абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1000$. Это подтверждает, что у графиков есть еще одна общая точка, кроме той, что в начале координат.

Теперь найдем ординату ($y$) для второй точки, подставив $x_2 = 1000$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = 10x$:

$y_2 = 10 \cdot 1000 = 10000$

Таким образом, вторая общая точка имеет координаты (1000; 10000).

Ответ: Да, графики этих функций имеют еще одну общую точку. Координаты этой точки (1000; 10000).