Номер 92, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

92. Постройте в одной системе координат графики функций $y = x^2$, $y = 1.8x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$.

Сравните значения этих функций при $x = 0.5$, $x = 1$ и $x = 2$.

Постройте в одной системе координат графики функций $y = x^2$, $y = 1,8x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$.

Все три функции вида $y = ax^2$ являются квадратичными функциями. Их графики — параболы, симметричные относительно оси ординат (оси OY), с вершиной в начале координат — точке (0, 0). Все параболы направлены ветвями вверх, так как коэффициент $a$ во всех трех случаях положителен ($1 > 0$, $1,8 > 0$, $\frac{1}{3} > 0$).

Коэффициент $a$ влияет на "ширину" параболы. Чем больше значение $|a|$, тем "уже" парабола, то есть она сильнее прижата к оси OY. Сравним коэффициенты:

$1,8 > 1 > \frac{1}{3}$

Это означает, что график функции $y = 1,8x^2$ будет самым узким, а график функции $y = \frac{1}{3}x^2$ — самым широким. График $y = x^2$ будет располагаться между ними.

Для построения графиков составим таблицу значений для каждой функции, выбрав несколько значений $x$.

Для построения необходимо начертить систему координат, отметить на ней точки из таблицы для каждой функции и соединить их плавными линиями, получив три параболы.

Ответ: Графики представляют собой три параболы с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Парабола $y = 1,8x^2$ является самой "узкой" (расположена выше остальных, кроме вершины), парабола $y = \frac{1}{3}x^2$ — самой "широкой" (расположена ниже остальных, кроме вершины), а парабола $y = x^2$ находится между ними.

Сравните значения этих функций при $x = 0,5, x = 1$ и $x = 2$.

Для сравнения значений функций подставим указанные значения $x$ в каждую формулу.

1. При $x = 0,5$:

• $y = x^2 = (0,5)^2 = 0,25$
• $y = 1,8x^2 = 1,8 \cdot (0,5)^2 = 1,8 \cdot 0,25 = 0,45$
• $y = \frac{1}{3}x^2 = \frac{1}{3} \cdot (0,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0,25 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

Сравниваем полученные значения: $0,45 > 0,25 > \frac{1}{12}$. Таким образом, $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

2. При $x = 1$:

• $y = x^2 = 1^2 = 1$
• $y = 1,8x^2 = 1,8 \cdot 1^2 = 1,8$
• $y = \frac{1}{3}x^2 = \frac{1}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3}$

Сравниваем полученные значения: $1,8 > 1 > \frac{1}{3}$. Таким образом, $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

3. При $x = 2$:

• $y = x^2 = 2^2 = 4$
• $y = 1,8x^2 = 1,8 \cdot 2^2 = 1,8 \cdot 4 = 7,2$
• $y = \frac{1}{3}x^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^2 = \frac{4}{3}$

Сравниваем полученные значения: $7,2 > 4 > \frac{4}{3}$. Таким образом, $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

Ответ:

• При $x = 0,5$: значение функции $y = 1,8x^2$ (равное 0,45) больше значения функции $y = x^2$ (равного 0,25), которое больше значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$ (равного $\frac{1}{12}$).
• При $x = 1$: значение функции $y = 1,8x^2$ (равное 1,8) больше значения функции $y = x^2$ (равного 1), которое больше значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$ (равного $\frac{1}{3}$).
• При $x = 2$: значение функции $y = 1,8x^2$ (равное 7,2) больше значения функции $y = x^2$ (равного 4), которое больше значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$ (равного $\frac{4}{3}$).