Номер 3, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

3 Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.

Формулировка теоремы

Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$, то этот трёхчлен можно разложить на линейные множители следующим образом:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Доказательство

Рассмотрим квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$. По условию, он имеет корни $x_1$ и $x_2$. Это означает, что значения $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Согласно теореме Виета, для корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Из этих равенств выразим коэффициенты $b$ и $c$ через старший коэффициент $a$ и корни $x_1$, $x_2$:

$b = -a(x_1 + x_2)$

$c = a(x_1 \cdot x_2)$

Теперь подставим полученные выражения для коэффициентов $b$ и $c$ в исходный квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$:

$ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1 \cdot x_2)$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Раскроем скобки в выражении $-(x_1 + x_2)x$:

$a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2)$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$a((x^2 - x_1x) - (x_2x - x_1x_2))$

В каждой из групп вынесем общий множитель за скобки:

$a(x(x - x_1) - x_2(x - x_1))$

Теперь мы видим общий множитель $(x - x_1)$, который также можно вынести за скобки:

$a(x - x_1)(x - x_2)$

Таким образом, мы доказали тождество $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о разложении квадратного трёхчлена, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, утверждает, что справедливо тождество $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.