Страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

88. Разложите на множители многочлен:

а) $4x^2 - 6x + 2xy - 3y;$

б) $4a^3 + 2b^3 - 2a^2b - 4ab^2.$

а) $4x^2 - 6x + 2xy - 3y$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем попарно члены многочлена так, чтобы в каждой группе был общий множитель.

Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый:

$(4x^2 - 6x) + (2xy - 3y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2x$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $y$:

$2x(2x - 3) + y(2x - 3)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель в виде скобки $(2x - 3)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(2x - 3)(2x + y)$

Ответ: $(2x - 3)(2x + y)$

б) $4a^3 + 2b^3 - 2a^2b - 4ab^2$

Для разложения на множители этого многочлена также используем метод группировки. Для удобства сначала переставим члены многочлена:

$4a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 2b^3$

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(4a^3 - 2a^2b) + (-4ab^2 + 2b^3)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2a^2$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-2b^2$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе:

$2a^2(2a - b) - 2b^2(2a - b)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2a - b)$:

$(2a - b)(2a^2 - 2b^2)$

Заметим, что второй множитель $(2a^2 - 2b^2)$ можно упростить, вынеся за скобки общий числовой множитель 2:

$(2a - b) \cdot 2(a^2 - b^2)$

Выражение в скобках $(a^2 - b^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Применим эту формулу:

$2(2a - b)(a - b)(a + b)$

Ответ: $2(2a - b)(a - b)(a + b)$

89. В какой координатной четверти расположена точка пересечения графиков функций $f(x) = 0,8x + 2,1$ и $g(x) = -0,9x + 3$?

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций, необходимо найти такое значение аргумента $x$, при котором значения функций равны. Для этого приравняем выражения для $f(x)$ и $g(x)$.

Заданы функции $f(x) = 0,8x + 2,1$ и $g(x) = -0,9x + 3$.

Составим уравнение, приравняв правые части функций:
$f(x) = g(x)$
$0,8x + 2,1 = -0,9x + 3$

Теперь решим это уравнение для нахождения абсциссы ($x$) точки пересечения. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую:
$0,8x + 0,9x = 3 - 2,1$
$1,7x = 0,9$

Выразим $x$:
$x = \frac{0,9}{1,7} = \frac{9}{17}$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Поскольку $x = \frac{9}{17}$ — это положительное число ($x > 0$), точка пересечения может находиться только в I или IV координатной четверти.

Далее найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив найденное значение $x$ в уравнение любой из двух функций. Подставим, например, в $f(x)$:
$y = 0,8x + 2,1 = 0,8 \cdot \left(\frac{9}{17}\right) + 2,1$
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных для удобства вычислений:
$y = \frac{8}{10} \cdot \frac{9}{17} + \frac{21}{10} = \frac{72}{170} + \frac{21 \cdot 17}{170} = \frac{72}{170} + \frac{357}{170}$
$y = \frac{72 + 357}{170} = \frac{429}{170}$

Мы нашли ординату точки пересечения. Поскольку $y = \frac{429}{170}$ — это положительное число ($y > 0$), точка пересечения может находиться только в I или II координатной четверти.

Сопоставив оба условия ($x > 0$ и $y > 0$), мы приходим к выводу, что точка пересечения графиков функций находится в I (первой) координатной четверти, так как в этой четверти обе координаты положительны.

Ответ: Точка пересечения расположена в I (первой) координатной четверти.

1 Дайте определение квадратного трёхчлена. Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?

Дайте определение квадратного трёхчлена

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — некоторые числа (называемые коэффициентами), причём обязательно $a \neq 0$.

• $a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^2$);
• $b$ — второй коэффициент (коэффициент при $x$);
• $c$ — свободный член.

Название «квадратный» происходит от того, что наибольшая степень переменной $x$ равна двум (квадрат). Название «трёхчлен» указывает на то, что он состоит из трёх слагаемых (одночленов): $ax^2$, $bx$ и $c$.

Ответ: Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?

Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена равно нулю. То есть, это корень соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Количество корней квадратного трёхчлена зависит от знака его дискриминанта. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$

Возможны три случая:

1. Если $D > 0$ (дискриминант положителен), то квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня. Они находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
2. Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), то квадратный трёхчлен имеет один действительный корень (или, как иногда говорят, два одинаковых корня). Он находится по формуле: $x = -\frac{b}{2a}$
3. Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Таким образом, квадратный трёхчлен может иметь два корня, один корень или не иметь корней совсем (в области действительных чисел).

Ответ: Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного действительного корня.

2. Покажите на примере выражения $3x^2 - 12x + 32$, как можно выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.

Выделение квадрата двучлена из квадратного трёхчлена — это преобразование выражения вида $ax^2 + bx + c$ к виду $a(x+p)^2 + q$. Покажем этот процесс на примере выражения $3x^2 - 12x + 32$.

1. Вынесем за скобки коэффициент при $x^2$ (в данном случае это 3) из первых двух слагаемых:

$3x^2 - 12x + 32 = 3(x^2 - 4x) + 32$

2. Теперь нам нужно дополнить выражение в скобках, $x^2 - 4x$, до полного квадрата. Мы используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем выражении $x^2 - 4x$, первый член $a^2$ — это $x^2$, значит $a=x$. Второй член $-2ab$ — это $-4x$. Отсюда мы можем найти $b$:

$-2xb = -4x$

$b = \frac{-4x}{-2x} = 2$

3. Чтобы получить полный квадрат $(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$, нам необходимо добавить $b^2 = 2^2 = 4$. Чтобы не изменить исходное выражение, мы одновременно добавим и вычтем 4 внутри скобок:

$3(x^2 - 4x + 4 - 4) + 32$

4. Сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить формулу квадрата двучлена:

$3((x^2 - 4x + 4) - 4) + 32$

5. Заменим выражение в скобках на квадрат двучлена:

$3((x - 2)^2 - 4) + 32$

6. Раскроем внешние скобки, умножив 3 на каждый член внутри них:

$3(x - 2)^2 - 3 \cdot 4 + 32$

$3(x - 2)^2 - 12 + 32$

7. Выполним сложение оставшихся числовых членов:

$3(x - 2)^2 + 20$

Таким образом, мы преобразовали исходный квадратный трёхчлен, выделив в нём квадрат двучлена.

Ответ: $3(x - 2)^2 + 20$

3 Сформулируйте и докажите теорему о разложении на множители квадратного трёхчлена, имеющего корни.

Формулировка теоремы

Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$, то этот трёхчлен можно разложить на линейные множители следующим образом:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Доказательство

Рассмотрим квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$. По условию, он имеет корни $x_1$ и $x_2$. Это означает, что значения $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Согласно теореме Виета, для корней приведенного квадратного уравнения $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ справедливы следующие соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Из этих равенств выразим коэффициенты $b$ и $c$ через старший коэффициент $a$ и корни $x_1$, $x_2$:

$b = -a(x_1 + x_2)$

$c = a(x_1 \cdot x_2)$

Теперь подставим полученные выражения для коэффициентов $b$ и $c$ в исходный квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$:

$ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a(x_1 \cdot x_2)$

Вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Раскроем скобки в выражении $-(x_1 + x_2)x$:

$a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2)$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$a((x^2 - x_1x) - (x_2x - x_1x_2))$

В каждой из групп вынесем общий множитель за скобки:

$a(x(x - x_1) - x_2(x - x_1))$

Теперь мы видим общий множитель $(x - x_1)$, который также можно вынести за скобки:

$a(x - x_1)(x - x_2)$

Таким образом, мы доказали тождество $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема о разложении квадратного трёхчлена, имеющего корни $x_1$ и $x_2$, утверждает, что справедливо тождество $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.