Страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

55. Какие из чисел -2, -1, 0, 2, 3 являются корнями многочлена $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$?

Для того чтобы проверить, какие из чисел являются корнями многочлена $x^3 - 3x^2 - 4x + 12$, необходимо поочередно подставить каждое из этих чисел вместо переменной $x$. Если в результате вычислений получится 0, то число является корнем многочлена. Обозначим многочлен как $P(x)$.

-2

Проверим число -2. Подставим $x = -2$ в многочлен:

$P(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 4(-2) + 12 = -8 - 3(4) + 8 + 12 = -8 - 12 + 8 + 12 = 0$.

Так как $P(-2)=0$, число -2 является корнем многочлена.

-1

Проверим число -1. Подставим $x = -1$ в многочлен:

$P(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 4(-1) + 12 = -1 - 3(1) + 4 + 12 = -1 - 3 + 4 + 12 = 12$.

Так как $P(-1) \neq 0$, число -1 не является корнем многочлена.

0

Проверим число 0. Подставим $x = 0$ в многочлен:

$P(0) = (0)^3 - 3(0)^2 - 4(0) + 12 = 0 - 0 - 0 + 12 = 12$.

Так как $P(0) \neq 0$, число 0 не является корнем многочлена.

2

Проверим число 2. Подставим $x = 2$ в многочлен:

$P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - 4(2) + 12 = 8 - 3(4) - 8 + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0$.

Так как $P(2)=0$, число 2 является корнем многочлена.

3

Проверим число 3. Подставим $x = 3$ в многочлен:

$P(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 4(3) + 12 = 27 - 3(9) - 12 + 12 = 27 - 27 - 12 + 12 = 0$.

Так как $P(3)=0$, число 3 является корнем многочлена.

Ответ: корнями многочлена являются числа -2, 2, 3.

56. Найдите корни многочлена:

а) $x^2 - 7x$;

б) $2x - 5$;

в) $y^3 - 4y$;

г) $y^4 - 16$.

Чтобы найти корни многочлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение.

а) $x^2 - 7x$

Приравниваем многочлен к нулю:

$x^2 - 7x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x_1 = 0$

или

$x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$

Ответ: $0; 7$

б) $2x - 5$

Приравниваем многочлен к нулю:

$2x - 5 = 0$

Переносим $-5$ в правую часть уравнения, меняя знак:

$2x = 5$

Делим обе части на 2:

$x = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$

в) $y^3 - 4y$

Приравниваем многочлен к нулю:

$y^3 - 4y = 0$

Выносим общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем:

$y_1 = 0$

или

$y^2 - 4 = 0$

Выражение $y^2 - 4$ можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(y-2)(y+2) = 0$

Отсюда находим еще два корня:

$y - 2 = 0 \Rightarrow y_2 = 2$

$y + 2 = 0 \Rightarrow y_3 = -2$

Ответ: $-2; 0; 2$

г) $y^4 - 16$

Приравниваем многочлен к нулю:

$y^4 - 16 = 0$

Левую часть можно разложить по формуле разности квадратов, представив $y^4$ как $(y^2)^2$ и $16$ как $4^2$:

$(y^2 - 4)(y^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $y^2 - 4 = 0$. Снова используем формулу разности квадратов:

$(y - 2)(y + 2) = 0$

Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = -2$.

2) $y^2 + 4 = 0$.

$y^2 = -4$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у многочлена два действительных корня.

Ответ: $-2; 2$

57. Имеет ли корни многочлен:

а) $x^2 + 1;$

б) $x^3 - 27;$

в) $-2y^6 - 1;$

г) $y^4 + 3y^2 + 7?$

Для того чтобы определить, имеет ли многочлен корни, необходимо приравнять его к нулю и попытаться решить полученное уравнение. Корень многочлена – это значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю.

а) $x^2 + 1$

Приравняем многочлен к нулю: $x^2 + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть уравнения: $x^2 = -1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет решений в области действительных чисел, так как неотрицательная величина не может быть равна отрицательному числу.

Следовательно, многочлен $x^2 + 1$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

б) $x^3 - 27$

Приравняем многочлен к нулю: $x^3 - 27 = 0$.

Перенесем 27 в правую часть уравнения: $x^3 = 27$.

Чтобы найти корень, нужно извлечь кубический корень из 27. Мы знаем, что $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Следовательно, $x = 3$ является корнем данного многочлена.

Ответ: да, имеет (корень $x=3$).

в) $-2y^6 - 1$

Приравняем многочлен к нулю: $-2y^6 - 1 = 0$.

Перенесем -1 в правую часть уравнения: $-2y^6 = 1$.

Разделим обе части на -2: $y^6 = -1/2$.

Переменная $y$ возводится в четную степень 6. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $y^6 \ge 0$. Уравнение $y^6 = -1/2$ не имеет решений в области действительных чисел, поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному.

Следовательно, многочлен $-2y^6 - 1$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

г) $y^4 + 3y^2 + 7$

Приравняем многочлен к нулю: $y^4 + 3y^2 + 7 = 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части уравнения. Поскольку переменная $y$ возводится в четные степени (4 и 2), то для любого действительного числа $y$ выполняются неравенства: $y^4 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.

Следовательно, слагаемое $3y^2$ также будет неотрицательным: $3y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $y^4$ и $3y^2$ тоже неотрицательна: $y^4 + 3y^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному выражению прибавить положительное число 7, то результат будет строго положительным: $y^4 + 3y^2 + 7 \ge 7$.

Это означает, что наименьшее значение данного многочлена равно 7 (оно достигается при $y=0$). Так как значение многочлена всегда больше нуля, он не может быть равен нулю ни при каком значении $y$.

Следовательно, многочлен $y^4 + 3y^2 + 7$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.