Страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

44. Какие из линейных функций $y = 8x - 5$, $y = -3x + 11$, $y = -49x - 100$, $y = x + 1$, $y = 1 - x$ являются:

а) возрастающими;

б) убывающими?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$. Характер монотонности такой функции (то есть, является ли она возрастающей или убывающей) определяется знаком ее углового коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, то функция является возрастающей.
• Если коэффициент $k < 0$, то функция является убывающей.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

1. Для $y = 8x - 5$ имеем $k = 8$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.
2. Для $y = -3x + 11$ имеем $k = -3$. Так как $k < 0$, функция убывающая.
3. Для $y = -49x - 100$ имеем $k = -49$. Так как $k < 0$, функция убывающая.
4. Для $y = x + 1$ имеем $k = 1$. Так как $k > 0$, функция возрастающая.
5. Для $y = 1 - x$, переписав в виде $y = -x + 1$, имеем $k = -1$. Так как $k < 0$, функция убывающая.

Теперь сгруппируем функции согласно заданию.

а) возрастающими

К возрастающим относятся функции, для которых угловой коэффициент $k$ положителен. В нашем случае это:

• $y = 8x - 5$ (поскольку $k=8 > 0$)
• $y = x + 1$ (поскольку $k=1 > 0$)

Ответ: $y = 8x - 5, y = x + 1$.

б) убывающими

К убывающим относятся функции, для которых угловой коэффициент $k$ отрицателен. В нашем случае это:

• $y = -3x + 11$ (поскольку $k=-3 < 0$)
• $y = -49x - 100$ (поскольку $k=-49 < 0$)
• $y = 1 - x$ (поскольку $k=-1 < 0$)

Ответ: $y = -3x + 11, y = -49x - 100, y = 1 - x$.

45. Приведите пример, опровергающий утверждение (контрпример):

а) при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является возрастающей;

б) при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является убывающей.

Данная функция $y = (a - 2)x + 3$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Поведение такой функции (возрастание или убывание) зависит от знака углового коэффициента $k$. В нашем случае $k = a - 2$.

• Функция является возрастающей, если ее угловой коэффициент $k > 0$. Для нашей функции это означает $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.
• Функция является убывающей, если ее угловой коэффициент $k < 0$. Для нашей функции это означает $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$.
• Функция является постоянной (и не возрастает, и не убывает), если ее угловой коэффициент $k = 0$. Для нашей функции это означает $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.

а)

Рассмотрим утверждение: при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является возрастающей.

Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно найти такое значение $a$, при котором функция не является возрастающей. Согласно анализу выше, это произойдет, если $a \le 2$.

Выберем в качестве контрпримера любое значение $a$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $a = 1$.

При $a = 1$ функция примет вид: $y = (1 - 2)x + 3 = -1 \cdot x + 3 = -x + 3$.

Угловой коэффициент этой функции $k = -1$, что меньше нуля. Следовательно, при $a=1$ функция является убывающей, а не возрастающей. Утверждение опровергнуто.

Другой возможный контрпример: при $a=2$ функция принимает вид $y = (2-2)x + 3 = 3$. Это постоянная функция, которая не является возрастающей.

Ответ: например, при $a = 1$ функция $y = -x + 3$ является убывающей, что опровергает утверждение.

б)

Рассмотрим утверждение: при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является убывающей.

Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно найти такое значение $a$, при котором функция не является убывающей. Согласно анализу выше, это произойдет, если $a \ge 2$.

Выберем в качестве контрпримера любое значение $a$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $a = 3$.

При $a = 3$ функция примет вид: $y = (3 - 2)x + 3 = 1 \cdot x + 3 = x + 3$.

Угловой коэффициент этой функции $k = 1$, что больше нуля. Следовательно, при $a=3$ функция является возрастающей, а не убывающей. Утверждение опровергнуто.

Ответ: например, при $a = 3$ функция $y = x + 3$ является возрастающей, что опровергает утверждение.

46. Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y = 1,5x - 3$;

б) $y = -0,6x + 5$.

а) $y = 1.5x - 3$

Данная функция является линейной, её общий вид $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = 1.5$ и свободный член $b = -3$. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy). Для этого подставим в уравнение $x = 0$:
$y = 1.5 \cdot 0 - 3 = -3$.
Получили первую точку A с координатами $(0, -3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (Ox). Для этого подставим в уравнение $y = 0$:
$0 = 1.5x - 3$
$1.5x = 3$
$x = \frac{3}{1.5} = 2$.
Получили вторую точку B с координатами $(2, 0)$.

Проведя прямую через точки A$(0, -3)$ и B$(2, 0)$, мы получим искомый график функции.

Перечислим свойства функции:

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
2. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$ (все действительные числа).
3. Нули функции: значение $x$, при котором $y=0$. Это $x=2$. Точка пересечения с осью Ox: $(2, 0)$.
4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ (функция положительна) при $1.5x - 3 > 0$, то есть при $x > 2$, на интервале $(2; +\infty)$.
$y < 0$ (функция отрицательна) при $1.5x - 3 < 0$, то есть при $x < 2$, на интервале $(-\infty; 2)$.
5. Монотонность: угловой коэффициент $k = 1.5 > 0$, следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения.
6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как $y(-x) = 1.5(-x) - 3 = -1.5x - 3$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
7. Точка пересечения с осью Oy: при $x = 0$, $y = -3$. Точка $(0, -3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(2, 0)$.
Основные свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=2$.
4. $y>0$ при $x \in (2; +\infty)$, $y<0$ при $x \in (-\infty; 2)$.
5. Функция возрастает на всей области определения.
6. Функция общего вида.

б) $y = -0.6x + 5$

Данная функция является линейной, её общий вид $y = kx + b$, где $k = -0.6$ и $b = 5$. Графиком является прямая. Для построения прямой найдем координаты двух точек.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (Oy), подставив $x = 0$:
$y = -0.6 \cdot 0 + 5 = 5$.
Получили первую точку C с координатами $(0, 5)$.

2. Найдем вторую точку, подставив произвольное значение $x$, например, $x = 5$:
$y = -0.6 \cdot 5 + 5 = -3 + 5 = 2$.
Получили вторую точку D с координатами $(5, 2)$.

Проведя прямую через точки C$(0, 5)$ и D$(5, 2)$, мы получим искомый график функции.

Перечислим свойства функции:

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. Нули функции: найдем $x$, при котором $y=0$:
$0 = -0.6x + 5 \implies 0.6x = 5 \implies x = \frac{5}{0.6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$.
Нуль функции: $x=\frac{25}{3}$. Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{25}{3}, 0)$.
4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $-0.6x + 5 > 0$, то есть при $x < \frac{25}{3}$, на интервале $(-\infty; \frac{25}{3})$.
$y < 0$ при $-0.6x + 5 < 0$, то есть при $x > \frac{25}{3}$, на интервале $(\frac{25}{3}; +\infty)$.
5. Монотонность: угловой коэффициент $k = -0.6 < 0$, следовательно, функция является строго убывающей на всей области определения.
6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида, так как $y(-x) = -0.6(-x) + 5 = 0.6x + 5$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.
7. Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0, 5)$.

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0, 5)$ и $(5, 2)$.
Основные свойства функции:
1. Область определения: $(-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x=\frac{25}{3}$.
4. $y>0$ при $x \in (-\infty; \frac{25}{3})$, $y<0$ при $x \in (\frac{25}{3}; +\infty)$.
5. Функция убывает на всей области определения.
6. Функция общего вида.

47. Постройте график функции:

a) $y = 1.6x$;

б) $y = -0.4x$.

Перечислите свойства функции $y = kx$ при $k > 0$ и при $k < 0$.

а)

Для построения графика функции $y = 1,6x$ необходимо найти координаты двух точек, так как это линейная функция, и ее график — прямая.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = 1,6 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
2. Возьмем $x = 5$. Тогда $y = 1,6 \cdot 5 = 8$. Получаем точку $(5; 8)$.

Проводим прямую через эти две точки: $(0; 0)$ и $(5; 8)$. Так как угловой коэффициент $k=1,6 > 0$, график функции возрастает и располагается в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = 1,6x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 0)$ и $(5; 8)$.

б)

Для построения графика функции $y = -0,4x$ также найдем координаты двух точек.

1. Возьмем $x = 0$. Тогда $y = -0,4 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0; 0)$.
2. Возьмем $x = 5$. Тогда $y = -0,4 \cdot 5 = -2$. Получаем точку $(5; -2)$.

Проводим прямую через точки $(0; 0)$ и $(5; -2)$. Так как угловой коэффициент $k=-0,4 < 0$, график функции убывает и располагается во II и IV координатных четвертях.

Ответ: График функции $y = -0,4x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 0)$ и $(5; -2)$.

Далее перечислим свойства функции $y = kx$ в зависимости от знака коэффициента $k$.

Свойства функции $y = kx$ при $k > 0$:
1. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений — все действительные числа: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. График — прямая, проходящая через начало координат.
4. График расположен в I и III координатных четвертях.
5. Функция является возрастающей на всей области определения.
6. Знаки функции: $y > 0$ при $x > 0$, $y < 0$ при $x < 0$.
7. Функция нечетная ($y(-x) = -y(x)$), ее график симметричен относительно начала координат.

Свойства функции $y = kx$ при $k < 0$:
1. Область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений — все действительные числа: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
3. График — прямая, проходящая через начало координат.
4. График расположен во II и IV координатных четвертях.
5. Функция является убывающей на всей области определения.
6. Знаки функции: $y > 0$ при $x < 0$, $y < 0$ при $x > 0$.
7. Функция нечетная ($y(-x) = -y(x)$), ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ:
При $k > 0$ функция $y=kx$ является возрастающей, ее график расположен в I и III координатных четвертях.
При $k < 0$ функция $y=kx$ является убывающей, ее график расположен во II и IV координатных четвертях.
Общие свойства для любого $k \ne 0$: график является прямой, проходящей через начало координат; область определения и область значений — множество всех действительных чисел; функция является нечетной.

48. Функция задана формулой $f(x) = 13x - 78$. При каких значениях $x$:

a) $f(x) = 0$;

б) $f(x) > 0$;

в) $f(x) < 0$?

Является ли функция возрастающей или убывающей?

а) f(x) = 0;

Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x) = 0$, необходимо решить уравнение:

$13x - 78 = 0$

Перенесем 78 в правую часть уравнения, изменив знак:

$13x = 78$

Разделим обе части уравнения на 13:

$x = \frac{78}{13}$

$x = 6$

Ответ: $x=6$.

б) f(x) > 0;

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) > 0$, необходимо решить неравенство:

$13x - 78 > 0$

Перенесем 78 в правую часть неравенства:

$13x > 78$

Разделим обе части на 13. Так как 13 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x > \frac{78}{13}$

$x > 6$

Ответ: $x > 6$.

в) f(x) < 0?

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x) < 0$, необходимо решить неравенство:

$13x - 78 < 0$

Перенесем 78 в правую часть неравенства:

$13x < 78$

Разделим обе части на 13:

$x < \frac{78}{13}$

$x < 6$

Ответ: $x < 6$.

Является ли функция возрастающей или убывающей?

Функция $f(x) = 13x - 78$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Характер монотонности такой функции (возрастание или убывание) определяется знаком углового коэффициента $k$.

В данном случае угловой коэффициент $k=13$.

Поскольку $k = 13 > 0$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция является возрастающей.

49. Используя рисунки 4 и 5, перечислите свойства функций $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sqrt{x}$ и $y = |x|$.

$y = x^2$

Свойства функции (парабола):

1. Область определения: вся числовая прямая, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: все неотрицательные числа, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = 0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума $(0, 0)$.

$y = x^3$

Свойства функции (кубическая парабола):

1. Область определения: вся числовая прямая, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: вся числовая прямая, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

5. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.

7. Экстремумы: функция не имеет точек максимума или минимума.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $(-\infty; +\infty)$, функция нечетная, возрастает на всей области определения, нуль функции при $x=0$, экстремумов нет.

$y = \sqrt{x}$

Свойства функции:

1. Область определения: все неотрицательные числа, то есть $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Множество значений: все неотрицательные числа, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее область определения не симметрична относительно нуля.

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = 0$.

Ответ: Область определения: $[0; +\infty)$, множество значений: $[0; +\infty)$, функция общего вида (ни четная, ни нечетная), возрастает на всей области определения, точка минимума $(0, 0)$.

$y = |x|$

Свойства функции (модуль):

1. Область определения: вся числовая прямая, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Множество значений: все неотрицательные числа, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.

4. Четность: функция четная, так как $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x = 0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = 0$.

Ответ: Область определения: $(-\infty; +\infty)$, множество значений: $[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума $(0, 0)$.

50. Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y = \frac{3}{x}$;

б) $y = -\frac{4}{x}$.

Данная функция представляет собой обратную пропорциональность вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=3$. Графиком такой функции является гипербола.

1. Построение графика.

Поскольку коэффициент $k=3 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

При $x = -3, y = \frac{3}{-3} = -1$
При $x = -2, y = \frac{3}{-2} = -1.5$
При $x = -1, y = \frac{3}{-1} = -3$
При $x = -0.5, y = \frac{3}{-0.5} = -6$
При $x = 0.5, y = \frac{3}{0.5} = 6$
При $x = 1, y = \frac{3}{1} = 3$
При $x = 2, y = \frac{3}{2} = 1.5$
При $x = 3, y = \frac{3}{3} = 1$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их двумя плавными кривыми (ветвями гиперболы), мы получим график функции. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox) являются асимптотами графика, то есть кривые бесконечно приближаются к ним, но никогда не пересекают.

2. Свойства функции $y = \frac{3}{x}$.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю ($x \neq 0$).

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как дробь $\frac{3}{x}$ никогда не равна нулю.

3. Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{3}{-x} = -\frac{3}{x} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

4. Нули функции: нулей нет, так как уравнение $\frac{3}{x} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось абсцисс (Ox).

5. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.
$y < 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.

6. Промежутки монотонности: производная функции $y' = (3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$. Так как $x^2>0$ для любого $x$ из области определения, то $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

8. Асимптоты:
Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции $y = \frac{3}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$. Основные свойства: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция нечетная, убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, нулей и экстремумов не имеет.

Данная функция представляет собой обратную пропорциональность вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-4$. Графиком такой функции является гипербола.

1. Построение графика.

Поскольку коэффициент $k=-4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

При $x = -4, y = -\frac{4}{-4} = 1$
При $x = -2, y = -\frac{4}{-2} = 2$
При $x = -1, y = -\frac{4}{-1} = 4$
При $x = -0.5, y = -\frac{4}{-0.5} = 8$
При $x = 0.5, y = -\frac{4}{0.5} = -8$
При $x = 1, y = -\frac{4}{1} = -4$
При $x = 2, y = -\frac{4}{2} = -2$
При $x = 4, y = -\frac{4}{4} = -1$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их двумя плавными кривыми (ветвями гиперболы), мы получим график функции. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox) являются асимптотами графика.

2. Свойства функции $y = -\frac{4}{x}$.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как $x \neq 0$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как $y \neq 0$.

3. Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x} = -(-\frac{4}{x}) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

4. Нули функции: нулей нет. График не пересекает ось абсцисс (Ox).

5. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.
$y < 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.

6. Промежутки монотонности: производная функции $y' = (-4x^{-1})' = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$. Так как $x^2>0$ для любого $x$ из области определения, то $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

8. Асимптоты:
Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции $y = -\frac{4}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$. Основные свойства: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция нечетная, возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, нулей и экстремумов не имеет.

51. Является ли возрастающей или убывающей функция:

а) $y = 5x + \sqrt{x}$;

б) $y = -x + \sqrt{-x}$;

в) $y = x^2 + \sqrt{x}$?

Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, можно исследовать знак ее производной. Если производная положительна на всей области определения, функция возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает. Если знак производной меняется, функция не является монотонной на всей области определения.

Рассмотрим функцию $y = 5x + \sqrt{x}$.

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции для исследования на монотонность:
$y' = (5x + \sqrt{x})' = (5x)' + (x^{1/2})' = 5 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 5 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для всех $x > 0$. На этом интервале оба слагаемых в выражении для производной положительны: $5 > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y' = 5 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ также всегда будет положительной ($y' > 0$).

Поскольку производная функции положительна на интервале $(0, \infty)$, а сама функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всей своей области определения.

Альтернативный метод: функция $y = 5x + \sqrt{x}$ является суммой двух функций: $f(x) = 5x$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Обе эти функции являются возрастающими на промежутке $[0, \infty)$. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией.

Ответ: функция является возрастающей на всей области определения $[0, \infty)$.

Рассмотрим функцию $y = -x + \sqrt{-x}$.

1. Область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 0$. Область определения функции $D(y) = (-\infty, 0]$.

2. Производная. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции для второго слагаемого:
$y' = (-x + \sqrt{-x})' = (-x)' + ((-x)^{1/2})' = -1 + \frac{1}{2}(-x)^{-1/2} \cdot (-x)' = -1 + \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -1 - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для всех $x < 0$. На этом интервале $-x > 0$, поэтому выражение $\frac{1}{2\sqrt{-x}}$ положительно. Тогда вся производная $y' = -1 - \frac{1}{2\sqrt{-x}}$ является суммой двух отрицательных величин ($-1$ и $-\frac{1}{2\sqrt{-x}}$), а значит, всегда отрицательна ($y' < 0$).

Поскольку производная функции отрицательна на интервале $(-\infty, 0)$, а сама функция непрерывна в точке $x=0$, она является убывающей на всей своей области определения.

Альтернативный метод: функция $y = -x + \sqrt{-x}$ является суммой двух функций: $f(x) = -x$ и $g(x) = \sqrt{-x}$. На промежутке $(-\infty, 0]$ функция $f(x)=-x$ является убывающей. Функция $g(x)=\sqrt{-x}$ также является убывающей, так как при увеличении $x$ (например, от -4 к -1) значение $-x$ уменьшается (от 4 к 1), и, соответственно, $\sqrt{-x}$ тоже уменьшается. Сумма двух убывающих функций является убывающей функцией.

Ответ: функция является убывающей на всей области определения $(-\infty, 0]$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + \sqrt{x}$.

1. Область определения. Наличие слагаемого $\sqrt{x}$ требует, чтобы $x \ge 0$. Область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции:
$y' = (x^2 + \sqrt{x})' = (x^2)' + (x^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Анализ знака производной. Производная определена для всех $x > 0$. На этом интервале оба слагаемых в выражении для производной неотрицательны, а их сумма строго положительна. Для любого $x > 0$ имеем $2x > 0$ и $\frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$. Следовательно, их сумма $y' = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда положительна ($y' > 0$).

Поскольку производная функции положительна на интервале $(0, \infty)$, а сама функция непрерывна в точке $x=0$, она является возрастающей на всей своей области определения.

Альтернативный метод: функция $y = x^2 + \sqrt{x}$ является суммой двух функций: $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$. На промежутке $[0, \infty)$ обе эти функции являются возрастающими. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией.

Ответ: функция является возрастающей на всей области определения $[0, \infty)$.

52. Решите уравнение:

а) $0,6x^2 - 3,6x = 0;$

б) $x^2 - 5 = 0;$

в) $2x^2 + 17x = 0;$

г) $0,5x^2 + 9 = 0.$

а) $0,6x^2 - 3,6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Для его решения вынесем общий множитель $0,6x$ за скобки:

$0,6x(x - 6) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $0,6x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

2) $x - 6 = 0 \Rightarrow x_2 = 6$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; 6$.

б) $x^2 - 5 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 5$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение будет иметь два корня:

$x = \pm\sqrt{5}$

То есть, $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Ответ: $\pm\sqrt{5}$.

в) $2x^2 + 17x = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(2x + 17) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x_1 = 0$

2) $2x + 17 = 0$

Решим второе уравнение:

$2x = -17$

$x_2 = -\frac{17}{2} = -8,5$

Ответ: $0; -8,5$.

г) $0,5x^2 + 9 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$. Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$0,5x^2 = -9$

Разделим обе части на $0,5$ (что эквивалентно умножению на 2):

$x^2 = -9 / 0,5$

$x^2 = -18$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Поскольку в левой части уравнения стоит $x^2$ (неотрицательная величина), а в правой — отрицательное число ($-18$), данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

53. Сравните g(2) и g(-2), если:

a) $g(x) = \frac{1}{x^2+5}$;

б) $g(x) = \frac{x}{x^2+5}$;

в) $g(x) = \frac{-x}{x^2+5}$.

а) Для функции $g(x) = \frac{1}{x^2+5}$ найдем значения в точках $x=2$ и $x=-2$.

Вычисляем $g(2)$:

$g(2) = \frac{1}{2^2+5} = \frac{1}{4+5} = \frac{1}{9}$.

Вычисляем $g(-2)$:

$g(-2) = \frac{1}{(-2)^2+5} = \frac{1}{4+5} = \frac{1}{9}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $g(2) = g(-2)$, так как $\frac{1}{9} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $g(2) = g(-2)$.

б) Для функции $g(x) = \frac{x}{x^2+5}$ найдем значения в точках $x=2$ и $x=-2$.

Вычисляем $g(2)$:

$g(2) = \frac{2}{2^2+5} = \frac{2}{4+5} = \frac{2}{9}$.

Вычисляем $g(-2)$:

$g(-2) = \frac{-2}{(-2)^2+5} = \frac{-2}{4+5} = -\frac{2}{9}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $g(2) > g(-2)$, так как $\frac{2}{9} > -\frac{2}{9}$.

Ответ: $g(2) > g(-2)$.

в) Для функции $g(x) = \frac{-x}{x^2+5}$ найдем значения в точках $x=2$ и $x=-2$.

Вычисляем $g(2)$:

$g(2) = \frac{-2}{2^2+5} = \frac{-2}{4+5} = -\frac{2}{9}$.

Вычисляем $g(-2)$:

$g(-2) = \frac{-(-2)}{(-2)^2+5} = \frac{2}{4+5} = \frac{2}{9}$.

Сравнивая полученные значения, видим, что $g(2) < g(-2)$, так как $-\frac{2}{9} < \frac{2}{9}$.

Ответ: $g(2) < g(-2)$.

54. Разложите на множители многочлен:

а) $4x - x^3$;

б) $a^4 - 169a^2$;

в) $c^3 - 8c^2 + 16c$.

а) $4x - x^3$

Для разложения многочлена на множители сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$4x - x^3 = x(4 - x^2)$

Теперь обратим внимание на выражение в скобках: $4 - x^2$. Это разность квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a=2$ и $b=x$, поэтому получаем:

$4 - x^2 = 2^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$

Подставив это разложение обратно, получаем окончательный вид:

$x(2 - x)(2 + x)$

Ответ: $x(2 - x)(2 + x)$

б) $a^4 - 169a^2$

В данном многочлене вынесем за скобки общий множитель $a^2$:

$a^4 - 169a^2 = a^2(a^2 - 169)$

Выражение в скобках $a^2 - 169$ также является разностью квадратов, поскольку $169 = 13^2$. Снова используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x=a$ и $y=13$, следовательно:

$a^2 - 169 = a^2 - 13^2 = (a - 13)(a + 13)$

Итоговое разложение многочлена на множители:

$a^2(a - 13)(a + 13)$

Ответ: $a^2(a - 13)(a + 13)$

в) $c^3 - 8c^2 + 16c$

Первым делом вынесем общий для всех членов множитель $c$ за скобки:

$c^3 - 8c^2 + 16c = c(c^2 - 8c + 16)$

Рассмотрим выражение в скобках: $c^2 - 8c + 16$. Этот трехчлен является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = c$ и $b = 4$. Проверим средний член: $-2ab = -2 \cdot c \cdot 4 = -8c$. Он совпадает. Значит, формула применима.

$c^2 - 8c + 16 = (c - 4)^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$c(c - 4)^2$

Ответ: $c(c - 4)^2$

1 Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений функции?

Определение функции

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Функцией (или функциональной зависимостью) называется такое правило или закон $f$, по которому каждому элементу $x$ из множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Символически это записывают как $y = f(x)$, где $x$ — независимая переменная или аргумент функции, $y$ — зависимая переменная или значение функции (также называемое образом элемента $x$), а $f$ — обозначение самого правила соответствия.

Ключевым свойством функции является однозначность: каждому значению аргумента $x$ соответствует только одно значение функции $y$. При этом разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции.

Функцию можно задавать различными способами: аналитическим (с помощью математической формулы, например, $y = x^3 - 5x$), графическим (с помощью графика, то есть множества всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, где $y = f(x)$), табличным (с помощью таблицы, сопоставляющей значениям $x$ значения $y$) или словесным (путем описания правила на естественном языке).

Ответ: Функция — это правило, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества.

Область определения функции

Областью определения функции $y = f(x)$ называется множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл (определено). Это то самое множество $X$, о котором говорится в определении функции. Область определения обычно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.

При нахождении области определения для функции, заданной формулой, необходимо выявить все значения $x$, которые могут привести к математически некорректным операциям. Основные ограничения:
1. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Для функции $y=\frac{g(x)}{h(x)}$ должно выполняться условие $h(x) \neq 0$.
2. Выражение под корнем четной степени (например, квадратным) должно быть неотрицательным. Для функции $y=\sqrt{g(x)}$ должно выполняться условие $g(x) \ge 0$.
3. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Для функции $y=\log_a(g(x))$ должно выполняться условие $g(x) > 0$.

Например, для функции $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-5}$ область определения находится из системы условий: $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x-5 \neq 0 \end{cases} $. Решением системы является $x \in [0, 5) \cup (5, +\infty)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех значений, которые может принимать ее аргумент $x$.

Область значений функции

Областью (или множеством) значений функции $y = f(x)$ называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (то есть сама функция), когда аргумент $x$ пробегает всю область определения. Область значений обычно обозначается как $E(f)$ или $E(y)$.

Иначе говоря, это множество всех чисел $y$, для каждого из которых найдется такое число $x$ из области определения $D(f)$, что $f(x) = y$.

Например:
• Для функции $y = x^2+3$ область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+3 \ge 3$. Следовательно, область значений $E(y) = [3, +\infty)$.
• Для функции $y = \cos(x)$ область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$, а область значений — отрезок $E(y) = [-1, 1]$, так как косинус любого угла принимает значения только в этих пределах.

Ответ: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает сама функция $y$ при всех допустимых значениях ее аргумента $x$.