Номер 45, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

45. Приведите пример, опровергающий утверждение (контрпример):

а) при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является возрастающей;

б) при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является убывающей.

Данная функция $y = (a - 2)x + 3$ является линейной функцией вида $y = kx + b$. Поведение такой функции (возрастание или убывание) зависит от знака углового коэффициента $k$. В нашем случае $k = a - 2$.

• Функция является возрастающей, если ее угловой коэффициент $k > 0$. Для нашей функции это означает $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.
• Функция является убывающей, если ее угловой коэффициент $k < 0$. Для нашей функции это означает $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$.
• Функция является постоянной (и не возрастает, и не убывает), если ее угловой коэффициент $k = 0$. Для нашей функции это означает $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.

а)

Рассмотрим утверждение: при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является возрастающей.

Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно найти такое значение $a$, при котором функция не является возрастающей. Согласно анализу выше, это произойдет, если $a \le 2$.

Выберем в качестве контрпримера любое значение $a$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $a = 1$.

При $a = 1$ функция примет вид: $y = (1 - 2)x + 3 = -1 \cdot x + 3 = -x + 3$.

Угловой коэффициент этой функции $k = -1$, что меньше нуля. Следовательно, при $a=1$ функция является убывающей, а не возрастающей. Утверждение опровергнуто.

Другой возможный контрпример: при $a=2$ функция принимает вид $y = (2-2)x + 3 = 3$. Это постоянная функция, которая не является возрастающей.

Ответ: например, при $a = 1$ функция $y = -x + 3$ является убывающей, что опровергает утверждение.

б)

Рассмотрим утверждение: при любом значении $a$ функция $y = (a - 2)x + 3$ является убывающей.

Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно найти такое значение $a$, при котором функция не является убывающей. Согласно анализу выше, это произойдет, если $a \ge 2$.

Выберем в качестве контрпримера любое значение $a$, удовлетворяющее этому условию. Например, пусть $a = 3$.

При $a = 3$ функция примет вид: $y = (3 - 2)x + 3 = 1 \cdot x + 3 = x + 3$.

Угловой коэффициент этой функции $k = 1$, что больше нуля. Следовательно, при $a=3$ функция является возрастающей, а не убывающей. Утверждение опровергнуто.

Ответ: например, при $a = 3$ функция $y = x + 3$ является возрастающей, что опровергает утверждение.