Номер 43, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. При каких значениях $x$ функция $y = f(x)$ обращается в нуль, принимает положительные и отрицательные значения, если:

a) $f(x) = -0,7x + 350$;

б) $f(x) = 30x + 10?

Начертите схематически график функции и проиллюстрируйте на нём установленные свойства.

а) $f(x) = -0,7x + 350$

1. Когда функция обращается в нуль ($f(x) = 0$):

Для нахождения значения $x$, при котором функция равна нулю, решим уравнение:

$-0,7x + 350 = 0$

$-0,7x = -350$

$x = \frac{-350}{-0,7} = \frac{3500}{7}$

$x = 500$

Таким образом, функция обращается в нуль при $x = 500$.

2. Когда функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$):

Для нахождения этих значений $x$, решим неравенство:

$-0,7x + 350 > 0$

$-0,7x > -350$

Разделим обе части на -0,7, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x < \frac{-350}{-0,7}$

$x < 500$

Таким образом, функция принимает положительные значения при $x < 500$.

3. Когда функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$):

Для нахождения этих значений $x$, решим неравенство:

$-0,7x + 350 < 0$

$-0,7x < -350$

Разделим обе части на -0,7, изменив знак неравенства:

$x > \frac{-350}{-0,7}$

$x > 500$

Таким образом, функция принимает отрицательные значения при $x > 500$.

Схематический график и иллюстрация свойств:

Функция $y = -0,7x + 350$ является линейной, ее график — прямая линия. Так как угловой коэффициент $k = -0,7$ отрицательный, функция является убывающей. График пересекает ось OY в точке $(0; 350)$ и ось OX в точке $(500; 0)$. На графике показаны области, где $y > 0$ (выше оси OX) и $y < 0$ (ниже оси OX).

Ответ: функция обращается в нуль при $x=500$, принимает положительные значения при $x < 500$, принимает отрицательные значения при $x > 500$.

б) $f(x) = 30x + 10$

1. Когда функция обращается в нуль ($f(x) = 0$):

Решим уравнение:

$30x + 10 = 0$

$30x = -10$

$x = -\frac{10}{30} = -\frac{1}{3}$

Функция обращается в нуль при $x = -\frac{1}{3}$.

2. Когда функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$):

Решим неравенство:

$30x + 10 > 0$

$30x > -10$

$x > -\frac{10}{30}$

$x > -\frac{1}{3}$

Функция принимает положительные значения при $x > -\frac{1}{3}$.

3. Когда функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$):

Решим неравенство:

$30x + 10 < 0$

$30x < -10$

$x < -\frac{10}{30}$

$x < -\frac{1}{3}$

Функция принимает отрицательные значения при $x < -\frac{1}{3}$.

Схематический график и иллюстрация свойств:

Функция $y = 30x + 10$ является линейной, ее график — прямая линия. Так как угловой коэффициент $k = 30$ положительный, функция является возрастающей. График пересекает ось OY в точке $(0; 10)$ и ось OX в точке $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: функция обращается в нуль при $x=-\frac{1}{3}$, принимает положительные значения при $x > -\frac{1}{3}$, принимает отрицательные значения при $x < -\frac{1}{3}$.