Номер 50, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Свойства функций. § 1. Функции и их свойства. Глава 1. Квадратичная функция - номер 50, страница 21.

50. Постройте график функции и перечислите её свойства:

а) $y = \frac{3}{x}$;

б) $y = -\frac{4}{x}$.

а) $y = \frac{3}{x}$

Данная функция представляет собой обратную пропорциональность вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=3$. Графиком такой функции является гипербола.

1. Построение графика.

Поскольку коэффициент $k=3 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

При $x = -3, y = \frac{3}{-3} = -1$
При $x = -2, y = \frac{3}{-2} = -1.5$
При $x = -1, y = \frac{3}{-1} = -3$
При $x = -0.5, y = \frac{3}{-0.5} = -6$
При $x = 0.5, y = \frac{3}{0.5} = 6$
При $x = 1, y = \frac{3}{1} = 3$
При $x = 2, y = \frac{3}{2} = 1.5$
При $x = 3, y = \frac{3}{3} = 1$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их двумя плавными кривыми (ветвями гиперболы), мы получим график функции. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox) являются асимптотами графика, то есть кривые бесконечно приближаются к ним, но никогда не пересекают.

2. Свойства функции $y = \frac{3}{x}$.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель дроби не может быть равен нулю ($x \neq 0$).

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как дробь $\frac{3}{x}$ никогда не равна нулю.

3. Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = \frac{3}{-x} = -\frac{3}{x} = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

4. Нули функции: нулей нет, так как уравнение $\frac{3}{x} = 0$ не имеет решений. График не пересекает ось абсцисс (Ox).

5. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.
$y < 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.

6. Промежутки монотонности: производная функции $y' = (3x^{-1})' = -3x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$. Так как $x^2>0$ для любого $x$ из области определения, то $y' < 0$. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

8. Асимптоты:
Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции $y = \frac{3}{x}$ — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$. Основные свойства: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция нечетная, убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, нулей и экстремумов не имеет.

б) $y = -\frac{4}{x}$

Данная функция представляет собой обратную пропорциональность вида $y=\frac{k}{x}$ с коэффициентом $k=-4$. Графиком такой функции является гипербола.

1. Построение графика.

Поскольку коэффициент $k=-4 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

При $x = -4, y = -\frac{4}{-4} = 1$
При $x = -2, y = -\frac{4}{-2} = 2$
При $x = -1, y = -\frac{4}{-1} = 4$
При $x = -0.5, y = -\frac{4}{-0.5} = 8$
При $x = 0.5, y = -\frac{4}{0.5} = -8$
При $x = 1, y = -\frac{4}{1} = -4$
При $x = 2, y = -\frac{4}{2} = -2$
При $x = 4, y = -\frac{4}{4} = -1$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их двумя плавными кривыми (ветвями гиперболы), мы получим график функции. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox) являются асимптотами графика.

2. Свойства функции $y = -\frac{4}{x}$.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как $x \neq 0$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как $y \neq 0$.

3. Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = -\frac{4}{-x} = \frac{4}{x} = -(-\frac{4}{x}) = -y(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат (0, 0).

4. Нули функции: нулей нет. График не пересекает ось абсцисс (Ox).

5. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.
$y < 0$ при $x > 0$, то есть на промежутке $(0; +\infty)$.

6. Промежутки монотонности: производная функции $y' = (-4x^{-1})' = 4x^{-2} = \frac{4}{x^2}$. Так как $x^2>0$ для любого $x$ из области определения, то $y' > 0$. Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

7. Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

8. Асимптоты:
Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось Oy).
Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции $y = -\frac{4}{x}$ — гипербола с ветвями во II и IV координатных четвертях и асимптотами $x=0$ и $y=0$. Основные свойства: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция нечетная, возрастает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, нулей и экстремумов не имеет.