Номер 1, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1 Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений функции?

Определение функции

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Функцией (или функциональной зависимостью) называется такое правило или закон $f$, по которому каждому элементу $x$ из множества $X$ ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.

Символически это записывают как $y = f(x)$, где $x$ — независимая переменная или аргумент функции, $y$ — зависимая переменная или значение функции (также называемое образом элемента $x$), а $f$ — обозначение самого правила соответствия.

Ключевым свойством функции является однозначность: каждому значению аргумента $x$ соответствует только одно значение функции $y$. При этом разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции.

Функцию можно задавать различными способами: аналитическим (с помощью математической формулы, например, $y = x^3 - 5x$), графическим (с помощью графика, то есть множества всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, где $y = f(x)$), табличным (с помощью таблицы, сопоставляющей значениям $x$ значения $y$) или словесным (путем описания правила на естественном языке).

Ответ: Функция — это правило, по которому каждому элементу $x$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из другого множества.

Область определения функции

Областью определения функции $y = f(x)$ называется множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл (определено). Это то самое множество $X$, о котором говорится в определении функции. Область определения обычно обозначается как $D(f)$ или $D(y)$.

При нахождении области определения для функции, заданной формулой, необходимо выявить все значения $x$, которые могут привести к математически некорректным операциям. Основные ограничения:
1. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Для функции $y=\frac{g(x)}{h(x)}$ должно выполняться условие $h(x) \neq 0$.
2. Выражение под корнем четной степени (например, квадратным) должно быть неотрицательным. Для функции $y=\sqrt{g(x)}$ должно выполняться условие $g(x) \ge 0$.
3. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Для функции $y=\log_a(g(x))$ должно выполняться условие $g(x) > 0$.

Например, для функции $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-5}$ область определения находится из системы условий: $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x-5 \neq 0 \end{cases} $. Решением системы является $x \in [0, 5) \cup (5, +\infty)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех значений, которые может принимать ее аргумент $x$.

Область значений функции

Областью (или множеством) значений функции $y = f(x)$ называется множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (то есть сама функция), когда аргумент $x$ пробегает всю область определения. Область значений обычно обозначается как $E(f)$ или $E(y)$.

Иначе говоря, это множество всех чисел $y$, для каждого из которых найдется такое число $x$ из области определения $D(f)$, что $f(x) = y$.

Например:
• Для функции $y = x^2+3$ область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+3 \ge 3$. Следовательно, область значений $E(y) = [3, +\infty)$.
• Для функции $y = \cos(x)$ область определения $D(y)=(-\infty, +\infty)$, а область значений — отрезок $E(y) = [-1, 1]$, так как косинус любого угла принимает значения только в этих пределах.

Ответ: Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает сама функция $y$ при всех допустимых значениях ее аргумента $x$.