Номер 56, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

56. Найдите корни многочлена:

а) $x^2 - 7x$;

б) $2x - 5$;

в) $y^3 - 4y$;

г) $y^4 - 16$.

Чтобы найти корни многочлена, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное уравнение.

а) $x^2 - 7x$

Приравниваем многочлен к нулю:

$x^2 - 7x = 0$

Выносим общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому:

$x_1 = 0$

или

$x - 7 = 0 \Rightarrow x_2 = 7$

Ответ: $0; 7$

б) $2x - 5$

Приравниваем многочлен к нулю:

$2x - 5 = 0$

Переносим $-5$ в правую часть уравнения, меняя знак:

$2x = 5$

Делим обе части на 2:

$x = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: $2,5$

в) $y^3 - 4y$

Приравниваем многочлен к нулю:

$y^3 - 4y = 0$

Выносим общий множитель $y$ за скобки:

$y(y^2 - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем:

$y_1 = 0$

или

$y^2 - 4 = 0$

Выражение $y^2 - 4$ можно разложить по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(y-2)(y+2) = 0$

Отсюда находим еще два корня:

$y - 2 = 0 \Rightarrow y_2 = 2$

$y + 2 = 0 \Rightarrow y_3 = -2$

Ответ: $-2; 0; 2$

г) $y^4 - 16$

Приравниваем многочлен к нулю:

$y^4 - 16 = 0$

Левую часть можно разложить по формуле разности квадратов, представив $y^4$ как $(y^2)^2$ и $16$ как $4^2$:

$(y^2 - 4)(y^2 + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $y^2 - 4 = 0$. Снова используем формулу разности квадратов:

$(y - 2)(y + 2) = 0$

Корни: $y_1 = 2$, $y_2 = -2$.

2) $y^2 + 4 = 0$.

$y^2 = -4$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, у многочлена два действительных корня.

Ответ: $-2; 2$