Номер 59, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

59. Найдите корни квадратного трёхчлена:

а) $x^2 + x - 6;$

б) $9x^2 - 9x + 2;$

в) $0,2x^2 + 3x - 20;$

г) $-2x^2 - x - 0,125;$

д) $0,1x^2 + 0,4;$

е) $-0,3x^2 + 1,5x.$

а) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6$, необходимо решить квадратное уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.
Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=1$, $c=-6$.
Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Также можно было использовать теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -6$. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -3.
Ответ: $x_1=2$, $x_2=-3$.

б) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $9x^2 - 9x + 2$, решим уравнение $9x^2 - 9x + 2 = 0$.
Коэффициенты: $a=9$, $b=-9$, $c=2$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 81 - 72 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 9} = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $x_1=\frac{2}{3}$, $x_2=\frac{1}{3}$.

в) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $0,2x^2 + 3x - 20$, решим уравнение $0,2x^2 + 3x - 20 = 0$.
Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$5 \cdot (0,2x^2 + 3x - 20) = 5 \cdot 0$
$x^2 + 15x - 100 = 0$.
Теперь коэффициенты: $a=1$, $b=15$, $c=-100$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 225 + 400 = 625$.
$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-15 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$.
$x_2 = \frac{-15 - 25}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$.
Ответ: $x_1=5$, $x_2=-20$.

г) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $-2x^2 - x - 0,125$, решим уравнение $-2x^2 - x - 0,125 = 0$.
Умножим обе части уравнения на -8, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$:
$-8 \cdot (-2x^2 - x - 0,125) = -8 \cdot 0$
$16x^2 + 8x + 1 = 0$.
Левая часть уравнения является полным квадратом: $(4x+1)^2 = 0$.
Отсюда следует, что $4x+1 = 0$.
$4x = -1$
$x = -\frac{1}{4} = -0,25$.
Уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня).
Проверим через дискриминант для исходного уравнения ($a=-2, b=-1, c=-0,125$):
$D = (-1)^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-0,125) = 1 - 8 \cdot 0,125 = 1 - 1 = 0$.
При $D=0$ корень один: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{-4} = -0,25$.
Ответ: $x=-0,25$.

д) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $0,1x^2 + 0,4$, решим уравнение $0,1x^2 + 0,4 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение.
Перенесем свободный член в правую часть:
$0,1x^2 = -0,4$.
Разделим обе части на 0,1:
$x^2 = \frac{-0,4}{0,1} = -4$.
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Можно также посчитать дискриминант. В данном случае $a=0,1$, $b=0$, $c=0,4$.
$D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 0,1 \cdot 0,4 = 0 - 0,16 = -0,16$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: действительных корней нет.

е) Чтобы найти корни квадратного трехчлена $-0,3x^2 + 1,5x$, решим уравнение $-0,3x^2 + 1,5x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, у которого свободный член $c=0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(-0,3x + 1,5) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:
1) $x_1 = 0$.
2) $-0,3x + 1,5 = 0$.
$-0,3x = -1,5$.
$x_2 = \frac{-1,5}{-0,3} = 5$.
Ответ: $x_1=0$, $x_2=5$.