Номер 58, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

58. Какие из чисел 1, 2, $3 - \sqrt{2}$, $-7 + \sqrt{2}$ являются корнями квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 7$?

Чтобы проверить, является ли число корнем квадратного трёхчлена, необходимо подставить это число вместо переменной $x$ в выражение $x^2 - 6x + 7$ и проверить, равно ли полученное значение нулю.

1

Подставим $x=1$ в трёхчлен $x^2 - 6x + 7$:

$1^2 - 6 \cdot 1 + 7 = 1 - 6 + 7 = 2$

Так как $2 \neq 0$, число 1 не является корнем трёхчлена.

Ответ: не является.

2

Подставим $x=2$ в трёхчлен $x^2 - 6x + 7$:

$2^2 - 6 \cdot 2 + 7 = 4 - 12 + 7 = -1$

Так как $-1 \neq 0$, число 2 не является корнем трёхчлена.

Ответ: не является.

3 - √2

Подставим $x = 3 - \sqrt{2}$ в трёхчлен. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3 - \sqrt{2})^2 - 6(3 - \sqrt{2}) + 7 = (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - (18 - 6\sqrt{2}) + 7$

$= (9 - 6\sqrt{2} + 2) - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

$= 11 - 6\sqrt{2} - 18 + 6\sqrt{2} + 7$

Теперь сгруппируем и сложим рациональные и иррациональные части:

$(11 - 18 + 7) + (-6\sqrt{2} + 6\sqrt{2}) = 0 + 0 = 0$

Так как в результате вычислений получился ноль, число $3 - \sqrt{2}$ является корнем трёхчлена.

Ответ: является.

-7 + √2

Подставим $x = -7 + \sqrt{2}$ в трёхчлен. Для раскрытия скобок воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(-7 + \sqrt{2})^2 - 6(-7 + \sqrt{2}) + 7 = ((-7)^2 + 2 \cdot (-7) \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) - (-42 + 6\sqrt{2}) + 7$

$= (49 - 14\sqrt{2} + 2) + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

$= 51 - 14\sqrt{2} + 42 - 6\sqrt{2} + 7$

Сгруппируем и сложим рациональные и иррациональные части:

$(51 + 42 + 7) + (-14\sqrt{2} - 6\sqrt{2}) = 100 - 20\sqrt{2}$

Так как $100 - 20\sqrt{2} \neq 0$, число $-7 + \sqrt{2}$ не является корнем трёхчлена.

Ответ: не является.

В результате проверки установлено, что из предложенных чисел корнем квадратного трёхчлена $x^2 - 6x + 7$ является только число $3 - \sqrt{2}$.