Номер 57, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

57. Имеет ли корни многочлен:

а) $x^2 + 1;$

б) $x^3 - 27;$

в) $-2y^6 - 1;$

г) $y^4 + 3y^2 + 7?$

Для того чтобы определить, имеет ли многочлен корни, необходимо приравнять его к нулю и попытаться решить полученное уравнение. Корень многочлена – это значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю.

а) $x^2 + 1$

Приравняем многочлен к нулю: $x^2 + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть уравнения: $x^2 = -1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x^2 \ge 0$. Уравнение $x^2 = -1$ не имеет решений в области действительных чисел, так как неотрицательная величина не может быть равна отрицательному числу.

Следовательно, многочлен $x^2 + 1$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

б) $x^3 - 27$

Приравняем многочлен к нулю: $x^3 - 27 = 0$.

Перенесем 27 в правую часть уравнения: $x^3 = 27$.

Чтобы найти корень, нужно извлечь кубический корень из 27. Мы знаем, что $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Следовательно, $x = 3$ является корнем данного многочлена.

Ответ: да, имеет (корень $x=3$).

в) $-2y^6 - 1$

Приравняем многочлен к нулю: $-2y^6 - 1 = 0$.

Перенесем -1 в правую часть уравнения: $-2y^6 = 1$.

Разделим обе части на -2: $y^6 = -1/2$.

Переменная $y$ возводится в четную степень 6. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $y^6 \ge 0$. Уравнение $y^6 = -1/2$ не имеет решений в области действительных чисел, поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному.

Следовательно, многочлен $-2y^6 - 1$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.

г) $y^4 + 3y^2 + 7$

Приравняем многочлен к нулю: $y^4 + 3y^2 + 7 = 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части уравнения. Поскольку переменная $y$ возводится в четные степени (4 и 2), то для любого действительного числа $y$ выполняются неравенства: $y^4 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.

Следовательно, слагаемое $3y^2$ также будет неотрицательным: $3y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых $y^4$ и $3y^2$ тоже неотрицательна: $y^4 + 3y^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному выражению прибавить положительное число 7, то результат будет строго положительным: $y^4 + 3y^2 + 7 \ge 7$.

Это означает, что наименьшее значение данного многочлена равно 7 (оно достигается при $y=0$). Так как значение многочлена всегда больше нуля, он не может быть равен нулю ни при каком значении $y$.

Следовательно, многочлен $y^4 + 3y^2 + 7$ не имеет действительных корней.

Ответ: нет, не имеет.