Номер 6, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

6 Как изменяется в каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ функция $y = \frac{k}{x}$? Рассмотрите случаи $k > 0$ и $k < 0$.

Для того чтобы определить, как изменяется функция $y = \frac{k}{x}$ (возрастает или убывает), мы можем проанализировать знак ее производной. Область определения функции — все действительные числа, кроме нуля, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = \left(\frac{k}{x}\right)' = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Знак производной на промежутке определяет характер монотонности функции. Если $y'(x) > 0$, функция возрастает, а если $y'(x) < 0$ — убывает. В выражении для производной знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \ne 0$. Следовательно, знак производной зависит только от знака выражения $-k$.

Рассмотрим два случая, указанных в условии.

Случай k > 0

Если коэффициент $k$ положителен, то есть $k > 0$, то выражение $-k$ будет отрицательным. Таким образом, производная $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ будет отрицательной для всех $x$ из области определения, так как мы делим отрицательное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y'(x) < 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Так как производная отрицательна на обоих промежутках, функция является убывающей на каждом из них.

Ответ: при $k > 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Случай k < 0

Если коэффициент $k$ отрицателен, то есть $k < 0$, то выражение $-k$ будет положительным. В этом случае производная $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ будет положительной для всех $x$ из области определения, так как мы делим положительное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y'(x) > 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Так как производная положительна на обоих промежутках, функция является возрастающей на каждом из них.

Ответ: при $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.