Номер 5, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом.

Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Проще говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

• Пример возрастающей линейной функции: $y = 2x + 1$. Здесь угловой коэффициент $k=2$, он положителен.

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. Проще говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

• Пример убывающей линейной функции: $y = -5x + 3$. Здесь угловой коэффициент $k=-5$, он отрицателен.

Ответ: Пример возрастающей функции: $y = 2x + 1$. Пример убывающей функции: $y = -5x + 3$.

Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции

Свойство (формулировка): Характер монотонности (возрастания или убывания) линейной функции $y = kx + b$ полностью определяется знаком ее углового коэффициента $k$:

• если коэффициент $k > 0$, то линейная функция является возрастающей на всей своей области определения;
• если коэффициент $k < 0$, то линейная функция является убывающей на всей своей области определения;
• если коэффициент $k = 0$, то линейная функция является постоянной.

Доказательство:

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = kx + b$. Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции (которая является множеством всех действительных чисел) так, чтобы $x_2 > x_1$.

Найдем разность значений функции в этих точках: $f(x_2) - f(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b)$
$f(x_2) - f(x_1) = kx_2 + b - kx_1 - b$
$f(x_2) - f(x_1) = k(x_2 - x_1)$

Так как мы выбрали $x_2 > x_1$, то разность $(x_2 - x_1)$ всегда является положительным числом. Значит, знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ зависит только от знака коэффициента $k$.

1. Случай 1: $k > 0$
   Произведение положительного числа $k$ и положительного числа $(x_2 - x_1)$ является положительным числом. Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$. По определению, если для любого $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) > f(x_1)$, функция является возрастающей.
2. Случай 2: $k < 0$
   Произведение отрицательного числа $k$ и положительного числа $(x_2 - x_1)$ является отрицательным числом. Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда $f(x_2) < f(x_1)$. По определению, если для любого $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) < f(x_1)$, функция является убывающей.

(Случай $k=0$ приводит к функции $y=b$, которая является постоянной, так как $f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$, то есть $f(x_2) = f(x_1)$ для любых $x_1$ и $x_2$). Свойство доказано.

Ответ: Свойство: линейная функция $y = kx + b$ является возрастающей при $k > 0$ и убывающей при $k < 0$. Доказательство основано на том, что знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ для $x_2 > x_1$ совпадает со знаком коэффициента $k$.