Страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2 Что называется графиком функции? Что представляет собой график линейной функции? прямой пропорциональности? обратной пропорциональности?

Что называется графиком функции?

Графиком функции $y = f(x)$ называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых (координаты $x$) равны значениям аргумента из области определения функции, а ординаты (координаты $y$) — соответствующим им значениям функции. Иными словами, это визуальное представление функциональной зависимости в виде линии или кривой, где каждая точка $(x, y)$ на графике удовлетворяет уравнению $y = f(x)$.

Ответ: Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Что представляет собой график линейной функции?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Графиком любой линейной функции является прямая линия.

Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом, он отвечает за угол наклона прямой относительно положительного направления оси $Ox$. Если $k > 0$, функция возрастает (прямая направлена вверх), если $k < 0$ — убывает (прямая направлена вниз). При $k = 0$ график является горизонтальной прямой $y = b$. Коэффициент $b$ показывает, в какой точке прямая пересекает ось ординат $Oy$; координаты этой точки — $(0, b)$.

Ответ: Прямая линия.

Что представляет собой график прямой пропорциональности?

Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции и описывается формулой $y = kx$ (где $k \neq 0$). Это линейная функция, у которой свободный член $b$ равен нулю.

Так как $b=0$, то при $x=0$ значение $y$ также равно нулю ($y = k \cdot 0 = 0$). Это означает, что график такой функции всегда проходит через начало координат — точку $(0, 0)$. Таким образом, график прямой пропорциональности — это прямая линия, проходящая через начало координат.

Ответ: Прямая линия, проходящая через начало координат.

Что представляет собой график обратной пропорциональности?

Обратная пропорциональность — это функция, заданная формулой $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — число, не равное нулю ($k \neq 0$).

Графиком обратной пропорциональности является кривая, называемая гиперболой. Гипербола состоит из двух отдельных частей (ветвей), симметричных друг другу относительно начала координат. Расположение ветвей зависит от знака коэффициента $k$: если $k > 0$, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях; если $k < 0$, ветви находятся во II и IV четвертях. График этой функции никогда не пересекает оси координат, а лишь бесконечно к ним приближается. Оси $Ox$ и $Oy$ являются асимптотами гиперболы.

Ответ: Гипербола.

Используя рисунок 19, поясните, как с помощью графика функции найти нули функции и промежутки, в которых функция сохраняет знак (принимает положительные значения; отрицательные значения).

Для того чтобы с помощью графика функции $y=f(x)$ найти её нули и промежутки знакопостоянства, необходимо проанализировать положение графика относительно оси абсцисс ($Ox$). Несмотря на отсутствие конкретного рисунка 19, можно описать общий алгоритм действий.

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). На графике это абсциссы (координаты по оси $x$) точек, в которых график функции пересекает или касается оси абсцисс ($Ox$). Чтобы их найти, нужно определить $x$-координаты этих точек пересечения/касания.

Ответ: Нули функции — это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.

Промежутки, в которых функция принимает положительные значения

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$) на тех промежутках, где её график расположен выше оси абсцисс. Для нахождения этих промежутков необходимо определить все интервалы по оси $x$, для которых соответствующие им части графика лежат над осью $Ox$. Границами таких промежутков, как правило, являются нули функции.

Ответ: Промежутки, на которых функция положительна, — это интервалы оси $x$, на которых график функции расположен выше оси $Ox$.

Промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения

Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$) на тех промежутках, где её график расположен ниже оси абсцисс. Для нахождения этих промежутков необходимо определить все интервалы по оси $x$, для которых соответствующие им части графика лежат под осью $Ox$. Границами этих промежутков также обычно являются нули функции.

Ответ: Промежутки, на которых функция отрицательна, — это интервалы оси $x$, на которых график функции расположен ниже оси $Ox$.

4 Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке. Назовите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 19.

Определение функции, возрастающей в промежутке

Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Простыми словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Графически это означает, что при движении по оси $x$ слева направо график функции "поднимается" вверх.

Ответ: Функция называется возрастающей в промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка, большей абсциссе соответствует большая ордината.

Определение функции, убывающей в промежутке

Функция $y = f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Простыми словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Графически это означает, что при движении по оси $x$ слева направо график функции "опускается" вниз.

Ответ: Функция называется убывающей в промежутке, если для любых двух точек из этого промежутка, большей абсциссе соответствует меньшая ордината.

Промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 19

Для определения промежутков возрастания и убывания по графику необходимо визуально проследить за поведением линии графика при движении вдоль оси абсцисс (оси $x$) слева направо.

• Те участки оси $x$, на которых график функции идет вверх, являются промежутками возрастания.
• Те участки оси $x$, на которых график функции идет вниз, являются промежутками убывания.

Точки, в которых функция меняет свое поведение с возрастания на убывание (точки максимума) или с убывания на возрастание (точки минимума), называются точками экстремума. Граничные точки промежутков (точки экстремума) обычно включают в промежутки и возрастания, и убывания.

Так как изображение графика (рисунок 19) не было предоставлено в вопросе, невозможно указать конкретные промежутки для данной функции. Чтобы найти ответ, необходимо посмотреть на предоставленный вам рисунок 19 и определить по оси $x$ интервалы, где график поднимается и где опускается.

Пример анализа гипотетического графика:
Предположим, на рисунке 19 изображена парабола с вершиной в точке $(1, 4)$, ветви которой направлены вниз. Тогда:

• График функции поднимается (возрастает) на промежутке от $-\infty$ до точки максимума с абсциссой $x = 1$.
• График функции опускается (убывает) на промежутке от точки максимума с абсциссой $x = 1$ до $+\infty$.

В этом случае ответ был бы таким:

• Промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$.
• Промежуток убывания: $[1, +\infty)$.

Ответ: Для получения ответа необходимо проанализировать график на рисунке 19. Промежутки возрастания соответствуют интервалам по оси $x$, где график идет вверх, а промежутки убывания — где график идет вниз.

Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом.

Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Проще говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

• Пример возрастающей линейной функции: $y = 2x + 1$. Здесь угловой коэффициент $k=2$, он положителен.

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$. Проще говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

• Пример убывающей линейной функции: $y = -5x + 3$. Здесь угловой коэффициент $k=-5$, он отрицателен.

Ответ: Пример возрастающей функции: $y = 2x + 1$. Пример убывающей функции: $y = -5x + 3$.

Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции

Свойство (формулировка): Характер монотонности (возрастания или убывания) линейной функции $y = kx + b$ полностью определяется знаком ее углового коэффициента $k$:

• если коэффициент $k > 0$, то линейная функция является возрастающей на всей своей области определения;
• если коэффициент $k < 0$, то линейная функция является убывающей на всей своей области определения;
• если коэффициент $k = 0$, то линейная функция является постоянной.

Доказательство:

Рассмотрим линейную функцию $f(x) = kx + b$. Возьмем два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения функции (которая является множеством всех действительных чисел) так, чтобы $x_2 > x_1$.

Найдем разность значений функции в этих точках: $f(x_2) - f(x_1) = (kx_2 + b) - (kx_1 + b)$
$f(x_2) - f(x_1) = kx_2 + b - kx_1 - b$
$f(x_2) - f(x_1) = k(x_2 - x_1)$

Так как мы выбрали $x_2 > x_1$, то разность $(x_2 - x_1)$ всегда является положительным числом. Значит, знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ зависит только от знака коэффициента $k$.

1. Случай 1: $k > 0$
   Произведение положительного числа $k$ и положительного числа $(x_2 - x_1)$ является положительным числом. Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) > 0$, откуда $f(x_2) > f(x_1)$. По определению, если для любого $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) > f(x_1)$, функция является возрастающей.
2. Случай 2: $k < 0$
   Произведение отрицательного числа $k$ и положительного числа $(x_2 - x_1)$ является отрицательным числом. Следовательно, $f(x_2) - f(x_1) < 0$, откуда $f(x_2) < f(x_1)$. По определению, если для любого $x_2 > x_1$ выполняется $f(x_2) < f(x_1)$, функция является убывающей.

(Случай $k=0$ приводит к функции $y=b$, которая является постоянной, так как $f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$, то есть $f(x_2) = f(x_1)$ для любых $x_1$ и $x_2$). Свойство доказано.

Ответ: Свойство: линейная функция $y = kx + b$ является возрастающей при $k > 0$ и убывающей при $k < 0$. Доказательство основано на том, что знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ для $x_2 > x_1$ совпадает со знаком коэффициента $k$.

6 Как изменяется в каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$ функция $y = \frac{k}{x}$? Рассмотрите случаи $k > 0$ и $k < 0$.

Для того чтобы определить, как изменяется функция $y = \frac{k}{x}$ (возрастает или убывает), мы можем проанализировать знак ее производной. Область определения функции — все действительные числа, кроме нуля, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = \left(\frac{k}{x}\right)' = (k \cdot x^{-1})' = k \cdot (-1) \cdot x^{-1-1} = -k \cdot x^{-2} = -\frac{k}{x^2}$.

Знак производной на промежутке определяет характер монотонности функции. Если $y'(x) > 0$, функция возрастает, а если $y'(x) < 0$ — убывает. В выражении для производной знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \ne 0$. Следовательно, знак производной зависит только от знака выражения $-k$.

Рассмотрим два случая, указанных в условии.

Случай k > 0

Если коэффициент $k$ положителен, то есть $k > 0$, то выражение $-k$ будет отрицательным. Таким образом, производная $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ будет отрицательной для всех $x$ из области определения, так как мы делим отрицательное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y'(x) < 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Так как производная отрицательна на обоих промежутках, функция является убывающей на каждом из них.

Ответ: при $k > 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Случай k < 0

Если коэффициент $k$ отрицателен, то есть $k < 0$, то выражение $-k$ будет положительным. В этом случае производная $y'(x) = -\frac{k}{x^2}$ будет положительной для всех $x$ из области определения, так как мы делим положительное число ($-k$) на положительное ($x^2$).

$y'(x) > 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Так как производная положительна на обоих промежутках, функция является возрастающей на каждом из них.

Ответ: при $k < 0$ функция $y = \frac{k}{x}$ возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.