Страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

67. Даны квадратные трёхчлены

$x^2 - 6x + 11$ и $-x^2 + 6x - 11.$

Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

Доказательство того, что первый трёхчлен $x^2 - 6x + 11$ не принимает отрицательных значений

Для доказательства этого утверждения преобразуем данный квадратный трёхчлен, выделив в нём полный квадрат. Это позволит нам определить его наименьшее возможное значение.

$x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 11 = (x - 3)^2 - 9 + 11 = (x - 3)^2 + 2$.

Рассмотрим полученное выражение $(x - 3)^2 + 2$. Выражение $(x - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю для любого действительного $x$: $(x - 3)^2 \ge 0$.

Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $(x - 3)^2$, равно 0 (это достигается при $x=3$). Соответственно, наименьшее значение всего выражения $(x - 3)^2 + 2$ равно $0 + 2 = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 - 6x + 11 \ge 2$. Поскольку $2$ — число положительное, значения трёхчлена всегда положительны, а значит, он не может принимать отрицательных значений.

Ответ: доказано, что трёхчлен $x^2 - 6x + 11$ не принимает отрицательных значений.

Доказательство того, что второй трёхчлен $-x^2 + 6x - 11$ не принимает положительных значений

Для доказательства этого утверждения также преобразуем данный трёхчлен. Для удобства сначала вынесем знак минус за скобки:

$-x^2 + 6x - 11 = -(x^2 - 6x + 11)$.

Выражение в скобках нам уже знакомо из первой части доказательства. Мы установили, что $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$. Подставим это в наше выражение:

$-(x^2 - 6x + 11) = -((x - 3)^2 + 2) = -(x - 3)^2 - 2$.

Рассмотрим полученное выражение $-(x - 3)^2 - 2$. Как было установлено ранее, $(x - 3)^2 \ge 0$. Если умножить это неравенство на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-(x - 3)^2 \le 0$.

Наибольшее значение, которое может принять слагаемое $-(x - 3)^2$, равно 0 (при $x=3$). Соответственно, наибольшее значение всего выражения $-(x - 3)^2 - 2$ равно $0 - 2 = -2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $-x^2 + 6x - 11 \le -2$. Поскольку $-2$ — число отрицательное, значения трёхчлена всегда отрицательны, а значит, он не может принимать положительных значений.

Ответ: доказано, что трёхчлен $-x^2 + 6x - 11$ не принимает положительных значений.

68. При каком значении $x$ трёхчлен $2x^2 - 4x + 6$ принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Заданный трёхчлен $2x^2 - 4x + 6$ представляет собой квадратичную функцию $f(x) = 2x^2 - 4x + 6$. Графиком такой функции является парабола.

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a = 2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Чтобы найти значение $x$, при котором достигается наименьшее значение, найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае коэффициенты $a=2$ и $b=-4$. Подставим их в формулу:

$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, трёхчлен принимает наименьшее значение при $x=1$.

Теперь найдём это наименьшее значение, подставив $x=1$ в исходный трёхчлен:

$f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 6 = 2 \cdot 1 - 4 + 6 = 2 - 4 + 6 = 4$

Следовательно, наименьшее значение трёхчлена равно 4.

Ответ: трёхчлен принимает наименьшее значение при $x=1$; это значение равно 4.

69. Дан квадратный трёхчлен $\frac{1}{3}x^2 + 2x + 4$. Выясните, при каком значении $x$ он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трёхчлена.

Данный квадратный трёхчлен $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 4$ является функцией, график которой — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = \frac{1}{3}$ положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая совпадает с вершиной параболы. Наименьшее значение трёхчлена достигается в этой вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Для нашего трёхчлена коэффициенты равны: $a = \frac{1}{3}$, $b = 2$, $c = 4$.

При каком значении x он принимает наименьшее значение

Найдём абсциссу (координату $x$) вершины параболы. Это и будет искомое значение $x$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = -\frac{2}{\frac{2}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$

Таким образом, трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = -3$.

Ответ: при $x = -3$.

Чему равно это значение трёхчлена

Теперь найдём ординату (координату $y$) вершины параболы, подставив найденное значение $x_0 = -3$ в исходное выражение. Это и будет наименьшее значение трёхчлена.

$y_0 = y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^2 + 2(-3) + 4$

$y_0 = \frac{1}{3} \cdot 9 - 6 + 4$

$y_0 = 3 - 6 + 4$

$y_0 = 1$

Следовательно, наименьшее значение данного трёхчлена равно 1.

Ответ: 1.

70. (Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.

1) Обозначьте длину одного из катетов через $x$ см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Для решения задачи-исследования выполним предложенные шаги.

1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

Пусть длина одного катета прямоугольного треугольника равна $x$ см. По условию, сумма длин катетов равна 6 см. Следовательно, длина второго катета будет равна $(6 - x)$ см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

Подставив наши значения, получим выражение для площади $S$ как функцию от $x$:

$S(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (6 - x)$

Так как длина катета должна быть положительной, то $x > 0$ и $6 - x > 0$, что означает $x < 6$. Таким образом, переменная $x$ может принимать значения в интервале $(0; 6)$.

Ответ: Выражение для вычисления площади треугольника: $S(x) = \frac{1}{2}x(6-x)$, где $0 < x < 6$.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

Нам нужно найти, при каком значении $x$ функция $S(x) = \frac{1}{2}x(6-x)$ достигает своего максимума. Раскроем скобки в выражении:

$S(x) = \frac{1}{2}(6x - x^2) = 3x - \frac{1}{2}x^2 = -0.5x^2 + 3x$

Эта функция является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -0.5 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Координата $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае $a = -0.5$ и $b = 3$. Подставим эти значения в формулу:

$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-0.5)} = -\frac{3}{-1} = 3$

Значение $x = 3$ принадлежит интервалу $(0; 6)$, поэтому оно является точкой максимума для нашей задачи.

При $x=3$ см, длина первого катета равна 3 см, а длина второго катета равна $6 - 3 = 3$ см. Это означает, что треугольник является равнобедренным.

Ответ: Выражение принимает наибольшее значение при $x=3$. Это соответствует равнобедренному прямоугольному треугольнику с катетами по 3 см.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Мы нашли, что площадь будет наибольшей при $x=3$ см. Теперь вычислим значение этой площади, подставив $x=3$ в наше выражение:

$S(3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (6 - 3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, наибольшая площадь равна 4,5 см².

Ответ: Наибольшее значение площади треугольника равно 4,5 см².

71. С башни выпустили вверх стрелу из лука. Если начальная скорость стрелы равна 50 м/с, высота башни 20 м и t (с) — время полёта стрелы, то расстояние h (м) стрелы от поверхности земли в момент времени t (с) можно найти по формуле $h = -5t^2 + 50t + 20$ (приближённое значение ускорения свободного падения считается равным 10 м/с²). Какой наибольшей высоты достигнет стрела?

Для решения задачи используется формула, описывающая высоту стрелы $h$ (в метрах) в зависимости от времени полета $t$ (в секундах):

$h(t) = -5t^2 + 50t + 20$

Эта зависимость является квадратичной функцией. Её график — парабола. Поскольку коэффициент при $t^2$ отрицательный ($a = -5$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение, которое достигается в вершине параболы. Наибольшая высота, которой достигнет стрела, как раз и является значением функции в этой вершине.

Координата $t$ вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле $t_{вершины} = -\frac{b}{2a}$. Эта координата покажет нам, в какой момент времени стрела достигнет максимальной высоты.

В нашем случае коэффициенты равны: $a = -5$, $b = 50$.

Найдем время достижения максимальной высоты:

$t_{вершины} = -\frac{50}{2 \cdot (-5)} = -\frac{50}{-10} = 5$ (с)

Теперь, зная время, мы можем найти саму максимальную высоту, подставив значение $t = 5$ с в исходную формулу для высоты $h(t)$:

$h_{макс} = h(5) = -5 \cdot (5)^2 + 50 \cdot 5 + 20$

Проведем вычисления:

$h_{макс} = -5 \cdot 25 + 250 + 20$

$h_{макс} = -125 + 250 + 20$

$h_{макс} = 125 + 20$

$h_{макс} = 145$ (м)

Таким образом, наибольшая высота, которой достигнет стрела, составляет 145 метров.

Ответ: 145 м.

72. Функция задана формулой $f(x) = \frac{0,5x - 1}{6}$. При каких значениях $x$:

а) $f(x) = 0$;

б) $f(x) > 0$;

в) $f(x) < 0$?

Дана функция $f(x) = \frac{0,5x - 1}{6}$. Для нахождения значений $x$, удовлетворяющих заданным условиям, решим соответствующие уравнение и неравенства.

а) f(x) = 0

Чтобы найти значения $x$, при которых функция равна нулю, необходимо решить уравнение:

$\frac{0,5x - 1}{6} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Знаменатель равен 6, что удовлетворяет условию. Следовательно, приравниваем числитель к нулю:

$0.5x - 1 = 0$

Переносим -1 в правую часть уравнения:

$0.5x = 1$

Находим $x$, разделив обе части на 0,5:

$x = \frac{1}{0.5}$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

б) f(x) > 0

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает положительные значения, необходимо решить неравенство:

$\frac{0,5x - 1}{6} > 0$

Знаменатель дроби, число 6, является положительным. Поэтому знак всей дроби зависит только от знака ее числителя. Неравенство равносильно следующему:

$0.5x - 1 > 0$

Переносим -1 в правую часть:

$0.5x > 1$

Делим обе части на положительное число 0,5, знак неравенства при этом не меняется:

$x > \frac{1}{0.5}$

$x > 2$

Ответ: $x > 2$.

в) f(x) < 0

Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство:

$\frac{0,5x - 1}{6} < 0$

Так как знаменатель дроби (6) положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$0.5x - 1 < 0$

Переносим -1 в правую часть:

$0.5x < 1$

Делим обе части на 0,5:

$x < \frac{1}{0.5}$

$x < 2$

Ответ: $x < 2$.

73. Длина $l$ стального рельса, имеющего при $0 \, ^\circ C$ длину 60 м, изменяется в зависимости от температуры $t \, (^\circ C)$ по закону $l = 60(1 + 0,000012t)$. Найдите приращение длины $l$ рельса при изменении температуры:

а) от 0 до $25 \, ^\circ C$; б) от 25 до $50 \, ^\circ C$.

а) Приращение длины рельса $Δl$ находится как разность его длин при конечной температуре $t_2$ и начальной $t_1$: $Δl = l(t_2) - l(t_1)$. Используя данную в условии зависимость длины от температуры $l(t) = 60(1 + 0,000012t)$, можно вывести общую формулу для приращения:
$Δl = 60(1 + 0,000012t_2) - 60(1 + 0,000012t_1)$
Раскроем скобки:
$Δl = (60 + 60 \cdot 0,000012t_2) - (60 + 60 \cdot 0,000012t_1)$
$Δl = 60 + 60 \cdot 0,000012t_2 - 60 - 60 \cdot 0,000012t_1$
Упростим выражение, вынеся общий множитель за скобки:
$Δl = 60 \cdot 0,000012(t_2 - t_1)$
Для данного случая температура изменяется от $t_1 = 0 \space ^\circ\text{С}$ до $t_2 = 25 \space ^\circ\text{С}$.
Подставим значения в полученную формулу:
$Δl = 60 \cdot 0,000012 \cdot (25 - 0) = 60 \cdot 0,000012 \cdot 25 = 1500 \cdot 0,000012 = 0,018$ м.
Ответ: 0,018 м.

б) Воспользуемся выведенной в предыдущем пункте формулой для приращения длины: $Δl = 60 \cdot 0,000012(t_2 - t_1)$.
В этом случае температура изменяется от $t_1 = 25 \space ^\circ\text{С}$ до $t_2 = 50 \space ^\circ\text{С}$.
Подставим значения:
$Δl = 60 \cdot 0,000012 \cdot (50 - 25) = 60 \cdot 0,000012 \cdot 25 = 1500 \cdot 0,000012 = 0,018$ м.
Ответ: 0,018 м.

74. Решите уравнение:

а) $3(x + 4)^2 = 10x + 32;$

б) $31x + 77 = 15(x + 1)^2.$

а) $3(x + 4)^2 = 10x + 32$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$

Умножим выражение в скобках на 3:

$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$

$3x^2 + 14x + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $-2; -\frac{8}{3}$.

б) $31x + 77 = 15(x + 1)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата суммы:

$31x + 77 = 15(x^2 + 2x + 1)$

Умножим выражение в скобках на 15:

$31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15$

Перенесем все члены уравнения в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = 15x^2 + 30x - 31x + 15 - 77$

$15x^2 - x - 62 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-62) = 1 + 3720 = 3721$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{3721} = 61$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + 61}{2 \cdot 15} = \frac{1 + 61}{30} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15}$

$x_2 = \frac{-(-1) - 61}{2 \cdot 15} = \frac{1 - 61}{30} = \frac{-60}{30} = -2$

Ответ: $-2; \frac{31}{15}$.

75. Разложите на множители многочлен:

а) $ab + 3b - 5a - 15;$

б) $2xy - y + 8x - 4.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $ab + 3b - 5a - 15$, воспользуемся методом группировки. Этот метод заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, а затем вынести общий множитель для получившихся групп.

1. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: $(ab + 3b) + (-5a - 15)$.

2. В первой группе $(ab + 3b)$ вынесем за скобки общий множитель $b$: $b(a + 3)$.

3. Во второй группе $(-5a - 15)$ вынесем за скобки общий множитель $-5$. Обратите внимание, что при вынесении отрицательного числа знаки в скобках меняются на противоположные: $-5(a + 3)$.

4. Теперь исходное выражение выглядит так: $b(a + 3) - 5(a + 3)$.

5. Мы видим, что у получившихся слагаемых есть общий множитель — это выражение в скобках $(a + 3)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 3)(b - 5)$

Проверим результат, раскрыв скобки: $(a + 3)(b - 5) = a \cdot b + a \cdot (-5) + 3 \cdot b + 3 \cdot (-5) = ab - 5a + 3b - 15$. После перестановки слагаемых получаем исходный многочлен.

Ответ: $(a + 3)(b - 5)$.

б) Разложим на множители многочлен $2xy - y + 8x - 4$, также используя метод группировки.

1. Сгруппируем попарно члены многочлена: $(2xy - y) + (8x - 4)$.

2. В первой группе $(2xy - y)$ вынесем за скобки общий множитель $y$: $y(2x - 1)$.

3. Во второй группе $(8x - 4)$ вынесем за скобки общий множитель $4$: $4(2x - 1)$.

4. Исходное выражение теперь имеет вид: $y(2x - 1) + 4(2x - 1)$.

5. Общим множителем для обоих слагаемых является выражение $(2x - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(2x - 1)(y + 4)$

Проверим результат: $(2x - 1)(y + 4) = 2x \cdot y + 2x \cdot 4 - 1 \cdot y - 1 \cdot 4 = 2xy + 8x - y - 4$. Результат совпадает с исходным многочленом.

Ответ: $(2x - 1)(y + 4)$.