Номер 69, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

69. Дан квадратный трёхчлен $\frac{1}{3}x^2 + 2x + 4$. Выясните, при каком значении $x$ он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трёхчлена.

Данный квадратный трёхчлен $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x + 4$ является функцией, график которой — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = \frac{1}{3}$ положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая совпадает с вершиной параболы. Наименьшее значение трёхчлена достигается в этой вершине.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

Для нашего трёхчлена коэффициенты равны: $a = \frac{1}{3}$, $b = 2$, $c = 4$.

При каком значении x он принимает наименьшее значение

Найдём абсциссу (координату $x$) вершины параболы. Это и будет искомое значение $x$.

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = -\frac{2}{\frac{2}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$

Таким образом, трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = -3$.

Ответ: при $x = -3$.

Чему равно это значение трёхчлена

Теперь найдём ординату (координату $y$) вершины параболы, подставив найденное значение $x_0 = -3$ в исходное выражение. Это и будет наименьшее значение трёхчлена.

$y_0 = y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^2 + 2(-3) + 4$

$y_0 = \frac{1}{3} \cdot 9 - 6 + 4$

$y_0 = 3 - 6 + 4$

$y_0 = 1$

Следовательно, наименьшее значение данного трёхчлена равно 1.

Ответ: 1.