Номер 74, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

74. Решите уравнение:

а) $3(x + 4)^2 = 10x + 32;$

б) $31x + 77 = 15(x + 1)^2.$

а) $3(x + 4)^2 = 10x + 32$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$

Умножим выражение в скобках на 3:

$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$

$3x^2 + 14x + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $-2; -\frac{8}{3}$.

б) $31x + 77 = 15(x + 1)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата суммы:

$31x + 77 = 15(x^2 + 2x + 1)$

Умножим выражение в скобках на 15:

$31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15$

Перенесем все члены уравнения в правую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$0 = 15x^2 + 30x - 31x + 15 - 77$

$15x^2 - x - 62 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-62) = 1 + 3720 = 3721$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{3721} = 61$. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + 61}{2 \cdot 15} = \frac{1 + 61}{30} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15}$

$x_2 = \frac{-(-1) - 61}{2 \cdot 15} = \frac{1 - 61}{30} = \frac{-60}{30} = -2$

Ответ: $-2; \frac{31}{15}$.