Номер 81, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

81. Можно ли разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа?

Общий вид квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c$.По условию задачи, все три коэффициента ($a$, $b$ и $c$) равны между собой и не равны нулю. Обозначим этот общий коэффициент буквой $k$, где $k \neq 0$.Тогда квадратный трёхчлен можно записать в виде: $kx^2 + kx + k$.

Возможность разложить квадратный трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами определяется знаком его дискриминанта $D$. Трёхчлен можно разложить на множители, если его дискриминант неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим в эту формулу коэффициенты нашего трёхчлена, где $a=k$, $b=k$ и $c=k$:$D = k^2 - 4 \cdot k \cdot k = k^2 - 4k^2 = -3k^2$.

Проанализируем полученное выражение для дискриминанта. По условию, коэффициент $k$ — отличное от нуля число ($k \neq 0$). Это означает, что $k^2$ всегда будет строго положительным числом ($k^2 > 0$).Следовательно, дискриминант $D = -3k^2$ всегда будет отрицательным, так как он равен произведению отрицательного числа ($-3$) и положительного числа ($k^2$).Таким образом, для любого ненулевого $k$ мы имеем $D < 0$.

Поскольку дискриминант такого трёхчлена всегда отрицателен, соответствующее ему квадратное уравнение $kx^2 + kx + k = 0$ не имеет действительных корней. А это значит, что данный квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Нет, нельзя, так как дискриминант такого квадратного трёхчлена ($D = -3k^2$) всегда будет отрицательным для любого ненулевого коэффициента $k$.