Страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

79. Докажите тождество:

а) $10x^2 + 19x - 2 = 10(x - 0,1)(x + 2)$;

б) $0,5(x - 6)(x - 5) = 0,5x^2 - 5,5x + 15.$

а) Для доказательства тождества $10x^2 + 19x - 2 = 10(x - 0,1)(x + 2)$ преобразуем его правую часть, раскрыв скобки.
Сначала выполним умножение двучленов в скобках:
$(x - 0,1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 0,1 \cdot x - 0,1 \cdot 2 = x^2 + 2x - 0,1x - 0,2$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (2 - 0,1)x - 0,2 = x^2 + 1,9x - 0,2$
Теперь умножим полученный многочлен на 10:
$10(x^2 + 1,9x - 0,2) = 10 \cdot x^2 + 10 \cdot 1,9x - 10 \cdot 0,2 = 10x^2 + 19x - 2$
Полученное выражение полностью совпадает с левой частью тождества. Таким образом, равенство $10x^2 + 19x - 2 = 10x^2 + 19x - 2$ является верным.
Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $0,5(x - 6)(x - 5) = 0,5x^2 - 5,5x + 15$ преобразуем его левую часть, раскрыв скобки.
Сначала выполним умножение двучленов:
$(x - 6)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) - 6 \cdot x - 6 \cdot (-5) = x^2 - 5x - 6x + 30$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - (5 + 6)x + 30 = x^2 - 11x + 30$
Теперь умножим полученный многочлен на 0,5:
$0,5(x^2 - 11x + 30) = 0,5 \cdot x^2 - 0,5 \cdot 11x + 0,5 \cdot 30 = 0,5x^2 - 5,5x + 15$
Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества. Таким образом, равенство $0,5x^2 - 5,5x + 15 = 0,5x^2 - 5,5x + 15$ является верным.
Ответ: Тождество доказано.

80. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени:

а) $-3y^2 + 3y + 11;$

б) $4b^2 - 9b + 7;$

в) $x^2 - 7x + 11;$

г) $3y^2 - 12y + 12?$

Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно представить в виде произведения многочленов первой степени тогда и только тогда, когда его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$). Если $D < 0$, то такое представление невозможно (в поле действительных чисел). Проверим каждый случай.

а) $-3y^2 + 3y + 11$

Коэффициенты данного трёхчлена: $a = -3$, $b = 3$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 11 = 9 + 132 = 141$.

Так как $D = 141 > 0$, трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: да, можно.

б) $4b^2 - 9b + 7$

Коэффициенты: $a = 4$, $b = -9$, $c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.

Так как $D = -31 < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: нет, нельзя.

в) $x^2 - 7x + 11$

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5$.

Так как $D = 5 > 0$, трёхчлен имеет два действительных корня, и его можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: да, можно.

г) $3y^2 - 12y + 12$

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -12$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень (кратности 2). Это означает, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени. В данном случае он сворачивается в полный квадрат: $3(y-2)^2$, что является произведением $3(y-2)(y-2)$.

Ответ: да, можно.

81. Можно ли разложить на множители квадратный трёхчлен, коэффициенты которого равные, отличные от нуля числа?

Общий вид квадратного трёхчлена: $ax^2 + bx + c$.По условию задачи, все три коэффициента ($a$, $b$ и $c$) равны между собой и не равны нулю. Обозначим этот общий коэффициент буквой $k$, где $k \neq 0$.Тогда квадратный трёхчлен можно записать в виде: $kx^2 + kx + k$.

Возможность разложить квадратный трёхчлен на линейные множители с действительными коэффициентами определяется знаком его дискриминанта $D$. Трёхчлен можно разложить на множители, если его дискриминант неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим в эту формулу коэффициенты нашего трёхчлена, где $a=k$, $b=k$ и $c=k$:$D = k^2 - 4 \cdot k \cdot k = k^2 - 4k^2 = -3k^2$.

Проанализируем полученное выражение для дискриминанта. По условию, коэффициент $k$ — отличное от нуля число ($k \neq 0$). Это означает, что $k^2$ всегда будет строго положительным числом ($k^2 > 0$).Следовательно, дискриминант $D = -3k^2$ всегда будет отрицательным, так как он равен произведению отрицательного числа ($-3$) и положительного числа ($k^2$).Таким образом, для любого ненулевого $k$ мы имеем $D < 0$.

Поскольку дискриминант такого трёхчлена всегда отрицателен, соответствующее ему квадратное уравнение $kx^2 + kx + k = 0$ не имеет действительных корней. А это значит, что данный квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: Нет, нельзя, так как дискриминант такого квадратного трёхчлена ($D = -3k^2$) всегда будет отрицательным для любого ненулевого коэффициента $k$.

82. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида $n$, $2n$, $3n$ (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.

Пусть искомый квадратный трёхчлен имеет вид $ax^2 + bx + c$. По условию, его коэффициенты $a, b, c$ являются перестановкой натуральных чисел $n, 2n, 3n$ для некоторого $n \in \mathbb{N}$. Для того чтобы квадратный трёхчлен имел действительные корни, его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным, то есть $b^2 - 4ac \ge 0$.

Проверим все возможные варианты расстановки коэффициентов, чтобы доказать существование такого трёхчлена.

1. Пусть коэффициент при $x$ равен $b=n$, а коэффициенты $a$ и $c$ равны $2n$ и $3n$ (в произвольном порядке). Тогда дискриминант $D = n^2 - 4(2n)(3n) = n^2 - 24n^2 = -23n^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n^2 > 0$, следовательно, $D < 0$. В этом случае у трёхчлена нет действительных корней.

2. Пусть $b=2n$, а $a$ и $c$ равны $n$ и $3n$. Тогда $D = (2n)^2 - 4(n)(3n) = 4n^2 - 12n^2 = -8n^2$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, $D < 0$. В этом случае действительных корней также нет.

3. Пусть $b=3n$, а $a$ и $c$ равны $n$ и $2n$. Тогда $D = (3n)^2 - 4(n)(2n) = 9n^2 - 8n^2 = n^2$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, $n^2 > 0$, дискриминант положителен. Следовательно, в этом случае трёхчлен имеет два различных действительных корня.

Таким образом, существование такого трёхчлена доказано. Его коэффициент при $x$ должен быть равен $3n$, а старший коэффициент и свободный член — $n$ и $2n$.

Выберем один из возможных вариантов, например, трёхчлен $nx^2 + 3nx + 2n$. Для разложения его на множители найдём корни уравнения $nx^2 + 3nx + 2n = 0$. Так как $n \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $n$: $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета (или через формулу корней) находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Разложение квадратного трёхчлена на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае старший коэффициент $a=n$, а корни $x_1=-1$ и $x_2=-2$. Подставляя значения, получаем: $n(x - (-1))(x - (-2)) = n(x+1)(x+2)$.

Ответ: Существование доказано. Примером такого трёхчлена является $nx^2 + 3nx + 2n$, разложение которого на множители имеет вид $n(x+1)(x+2)$.

83. Сократите дробь:

а) $ \frac{4x+4}{3x^2+2x-1}; $

б) $ \frac{2a^2-5a-3}{3a-9}; $

в) $ \frac{16-b^2}{b^2-b-12}; $

г) $ \frac{2y^2+7y+3}{y^2-9}; $

д) $ \frac{p^2-11p+10}{20+8p-p^2}; $

е) $ \frac{3x^2+16x-12}{10-13x-3x^2}. $

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{4x + 4}{3x^2 + 2x - 1}$, нужно разложить на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель: $4x + 4 = 4(x + 1)$.

2. Разложим знаменатель $3x^2 + 2x - 1$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$3x^2 + 2x - 1 = 3(x - \frac{1}{3})(x - (-1)) = (3x - 1)(x + 1)$.

3. Подставим разложенные выражения в дробь и сократим:
$\frac{4(x + 1)}{(3x - 1)(x + 1)} = \frac{4}{3x - 1}$.

Ответ: $\frac{4}{3x - 1}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2a^2 - 5a - 3}{3a - 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $2a^2 - 5a - 3$. Найдем корни уравнения $2a^2 - 5a - 3 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
$a_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$; $a_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Разложим на множители: $2a^2 - 5a - 3 = 2(a - 3)(a + \frac{1}{2}) = (a - 3)(2a + 1)$.

2. Разложим знаменатель: $3a - 9 = 3(a - 3)$.

3. Сократим дробь:
$\frac{(a - 3)(2a + 1)}{3(a - 3)} = \frac{2a + 1}{3}$.

Ответ: $\frac{2a + 1}{3}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{16 - b^2}{b^2 - b - 12}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель по формуле разности квадратов: $16 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.

2. Разложим знаменатель $b^2 - b - 12$. Найдем корни уравнения $b^2 - b - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -12. Это корни $b_1 = 4$ и $b_2 = -3$.
Разложим на множители: $b^2 - b - 12 = (b - 4)(b - (-3)) = (b - 4)(b + 3)$.

3. Сократим дробь. Заметим, что $4 - b = -(b - 4)$.
$\frac{(4 - b)(4 + b)}{(b - 4)(b + 3)} = \frac{-(b - 4)(b + 4)}{(b - 4)(b + 3)} = -\frac{b + 4}{b + 3}$.

Ответ: $-\frac{b + 4}{b + 3}$

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 - 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $2y^2 + 7y + 3$. Найдем корни уравнения $2y^2 + 7y + 3 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$; $y_2 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Разложим на множители: $2y^2 + 7y + 3 = 2(y + \frac{1}{2})(y + 3) = (2y + 1)(y + 3)$.

2. Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$.

3. Сократим дробь:
$\frac{(2y + 1)(y + 3)}{(y - 3)(y + 3)} = \frac{2y + 1}{y - 3}$.

Ответ: $\frac{2y + 1}{y - 3}$

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{p^2 - 11p + 10}{20 + 8p - p^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $p^2 - 11p + 10$. По теореме Виета, корни уравнения $p^2 - 11p + 10 = 0$ это $p_1 = 1$ и $p_2 = 10$.
Разложение: $p^2 - 11p + 10 = (p - 1)(p - 10)$.

2. Разложим знаменатель $20 + 8p - p^2 = -(p^2 - 8p - 20)$. Найдем корни уравнения $p^2 - 8p - 20 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней 8, произведение -20. Это корни $p_1 = 10$ и $p_2 = -2$.
Разложение: $-(p^2 - 8p - 20) = -(p - 10)(p - (-2)) = -(p - 10)(p + 2)$.

3. Сократим дробь:
$\frac{(p - 1)(p - 10)}{-(p - 10)(p + 2)} = \frac{p - 1}{-(p + 2)} = -\frac{p - 1}{p + 2}$.

Ответ: $-\frac{p - 1}{p + 2}$

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 + 16x - 12}{10 - 13x - 3x^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $3x^2 + 16x - 12$. Найдем корни уравнения $3x^2 + 16x - 12 = 0$.
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.
$x_1 = \frac{-16 + \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 + 20}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{-16 - 20}{6} = \frac{-36}{6} = -6$.
Разложим на множители: $3(x - \frac{2}{3})(x + 6) = (3x - 2)(x + 6)$.

2. Разложим знаменатель $10 - 13x - 3x^2 = -(3x^2 + 13x - 10)$. Найдем корни $3x^2 + 13x - 10 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$.
$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 + 17}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$; $x_2 = \frac{-13 - 17}{6} = \frac{-30}{6} = -5$.
Разложим на множители: $-(3(x - \frac{2}{3})(x + 5)) = -(3x - 2)(x + 5)$.

3. Сократим дробь:
$\frac{(3x - 2)(x + 6)}{-(3x - 2)(x + 5)} = \frac{x + 6}{-(x + 5)} = -\frac{x + 6}{x + 5}$.

Ответ: $-\frac{x + 6}{x + 5}$

84. Сократите дробь:

а) $\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64}$;

б) $\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1}$.

а) $\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 11x + 24$. Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 11x + 24 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, то есть $11$. Произведение корней равно свободному члену, то есть $24$. Легко подобрать такие числа: это $3$ и $8$, так как $3 + 8 = 11$ и $3 \cdot 8 = 24$.

Таким образом, $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$x^2 - 11x + 24 = (x - 3)(x - 8)$.

2. Разложим на множители знаменатель $x^2 - 64$. Это формула разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x^2 - 64 = x^2 - 8^2 = (x - 8)(x + 8)$.

3. Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь и сократим общий множитель.

$\frac{x^2 - 11x + 24}{x^2 - 64} = \frac{(x - 3)(x - 8)}{(x - 8)(x + 8)}$

Общий множитель здесь $(x-8)$. Сократив на него, получаем (при условии, что $x-8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$):

$\frac{x - 3}{x + 8}$

Ответ: $\frac{x - 3}{x + 8}$

б) $\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1}$

Аналогично предыдущему пункту, разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим на множители числитель $2y^2 + 9y - 5$. Для этого решим квадратное уравнение $2y^2 + 9y - 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 11}{4}$

$y_1 = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

Используем формулу разложения $a(y - y_1)(y - y_2)$:

$2y^2 + 9y - 5 = 2(y - \frac{1}{2})(y - (-5)) = 2(y - \frac{1}{2})(y + 5)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим первый множитель в скобках на 2:

$(2y - 1)(y + 5)$.

2. Разложим на множители знаменатель $4y^2 - 1$. Это также разность квадратов.

$4y^2 - 1 = (2y)^2 - 1^2 = (2y - 1)(2y + 1)$.

3. Подставим разложения в дробь и выполним сокращение.

$\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1} = \frac{(2y - 1)(y + 5)}{(2y - 1)(2y + 1)}$

Сокращаем на общий множитель $(2y - 1)$ (при условии $2y - 1 \neq 0$, то есть $y \neq \frac{1}{2}$):

$\frac{y + 5}{2y + 1}$

Ответ: $\frac{y + 5}{2y + 1}$

85. Найдите значение дроби:

а) $ \frac{36 - x^2}{6 - 7x + x^2} $ при $x = -9$; $-99$; $-999$;

б) $ \frac{4x^2 + 8x - 32}{4x^2 - 16} $ при $x = -1$; $5$; $10$.

а)

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{36 - x^2}{6 - 7x + x^2}$, сначала упростим ее.

1. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$36 - x^2 = 6^2 - x^2 = (6 - x)(6 + x)$.

2. Разложим знаменатель $x^2 - 7x + 6$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Корни этого уравнения — $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Следовательно, $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.

3. Перепишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{(6 - x)(6 + x)}{(x - 1)(x - 6)}$.

4. Заметим, что $(6 - x) = -(x - 6)$. Сократим дробь на общий множитель $(x - 6)$, при условии что $x \neq 6$:
$\frac{-(x - 6)(x + 6)}{(x - 1)(x - 6)} = -\frac{x + 6}{x - 1} = \frac{x + 6}{1 - x}$.

Теперь подставим значения $x$ в полученное упрощенное выражение $\frac{x + 6}{1 - x}$.

При $x = -9$:
$\frac{-9 + 6}{1 - (-9)} = \frac{-3}{1 + 9} = \frac{-3}{10} = -0,3$.

При $x = -99$:
$\frac{-99 + 6}{1 - (-99)} = \frac{-93}{1 + 99} = \frac{-93}{100} = -0,93$.

При $x = -999$:
$\frac{-999 + 6}{1 - (-999)} = \frac{-993}{1 + 999} = \frac{-993}{1000} = -0,993$.

Ответ: при $x = -9$ значение дроби равно -0,3; при $x = -99$ значение дроби равно -0,93; при $x = -999$ значение дроби равно -0,993.

б)

Найдем значение дроби $\frac{4x^2 + 8x - 32}{4x^2 - 16}$. Сначала упростим выражение.

1. В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки и разложим на множители получившийся квадратный трехчлен:
$4x^2 + 8x - 32 = 4(x^2 + 2x - 8)$.
Чтобы разложить $x^2 + 2x - 8$, найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма -2. Корни равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.
Тогда $x^2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2)$.
Весь числитель равен $4(x + 4)(x - 2)$.

2. В знаменателе вынесем общий множитель 4 за скобки и применим формулу разности квадратов:
$4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4) = 4(x - 2)(x + 2)$.

3. Перепишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{4(x + 4)(x - 2)}{4(x - 2)(x + 2)}$.

4. Сократим общие множители 4 и $(x-2)$, при условии что $x \neq 2$:
$\frac{x + 4}{x + 2}$.

Теперь подставим значения $x$ в упрощенное выражение $\frac{x + 4}{x + 2}$.

При $x = -1$:
$\frac{-1 + 4}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3$.

При $x = 5$:
$\frac{5 + 4}{5 + 2} = \frac{9}{7}$.

При $x = 10$:
$\frac{10 + 4}{10 + 2} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$.

Ответ: при $x = -1$ значение дроби равно 3; при $x = 5$ значение дроби равно $\frac{9}{7}$; при $x = 10$ значение дроби равно $\frac{7}{6}$.

86. Верно ли утверждение: функции $y = x - 4$ и $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ имеют одинаковые графики?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить две функции: $y = x - 4$ и $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$. Две функции считаются тождественными, и, следовательно, имеют одинаковые графики, только если у них совпадают области определения и для любого значения аргумента из этой области значения функций равны.

1. Анализ функции $y = x - 4$

Это линейная функция. Ее область определения — все действительные числа, что записывается как $D(y) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$. Графиком этой функции является сплошная прямая линия.

2. Анализ функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$

Это рациональная функция. Ее область определения (ОДЗ) исключает значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x - 2 \neq 0$

$x \neq 2$

Таким образом, область определения этой функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Так как области определения двух функций не совпадают ($x=2$ входит в область определения первой функции, но не входит в область определения второй), их графики не могут быть одинаковыми. Утверждение неверно.

Для более полного понимания, упростим выражение второй функции. Разложим на множители числитель $x^2 - 6x + 8$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Тогда числитель можно представить в виде $(x-2)(x-4)$.

Подставим это в функцию:

$y = \frac{(x-2)(x-4)}{x-2}$

При условии $x \neq 2$ (которое выполняется для области определения этой функции), мы можем сократить дробь на $(x-2)$:

$y = x - 4$

Это показывает, что для всех допустимых значений $x$ вторая функция эквивалентна первой. Однако, из-за различия в областях определения, график функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ представляет собой прямую $y = x-4$ с "выколотой" точкой в месте, где $x=2$. Найдем координаты этой точки, подставив $x=2$ в упрощенное выражение $y = x-4$:

$y = 2 - 4 = -2$

Таким образом, график второй функции — это прямая $y=x-4$ за исключением точки $(2; -2)$.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Графики функций не являются одинаковыми, так как их области определения различны. График функции $y = x-4$ — это сплошная прямая, в то время как график функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ — это та же прямая, но с выколотой точкой $(2; -2)$.

87. Решите уравнение:

а) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11;$

б) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3};$

в) $x - 3 = \frac{1 - x^2}{3};$

г) $\frac{2 - x^2}{7} = \frac{x}{2}.$

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11$. Чтобы избавиться от дроби, умножим все части уравнения на 2: $2 \cdot \frac{x^2 - 1}{2} - 2 \cdot 11x = 2 \cdot 11$ $x^2 - 1 - 22x = 22$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$ $x^2 - 22x - 23 = 0$ Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -23, а их сумма равна 22. Подбором находим корни: $x_1 = 23$ и $x_2 = -1$. Или решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576 = 24^2$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{22 \pm 24}{2}$ $x_1 = \frac{22 + 24}{2} = \frac{46}{2} = 23$ $x_2 = \frac{22 - 24}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
Ответ: -1; 23.

б) Дано уравнение $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}$. Это пропорция, поэтому мы можем использовать правило перекрестного умножения: $3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$ Раскроем скобки: $3x^2 + 3x = 16x - 14$ Перенесем все члены в левую часть: $3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$ $3x^2 - 13x + 14 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 \pm 1}{6}$ $x_1 = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ $x_2 = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: 2; $2\frac{1}{3}$.

в) Дано уравнение $x - 3 = \frac{1 - x^2}{3}$. Умножим обе части уравнения на 3: $3(x - 3) = 1 - x^2$ $3x - 9 = 1 - x^2$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 3x - 9 - 1 = 0$ $x^2 + 3x - 10 = 0$ Решим уравнение по теореме Виета: произведение корней равно -10, а их сумма равна -3. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Или решим через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2}$ $x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Ответ: -5; 2.

г) Дано уравнение $\frac{2 - x^2}{7} = \frac{x}{2}$. Используем правило перекрестного умножения для пропорции: $2(2 - x^2) = 7x$ $4 - 2x^2 = 7x$ Перенесем все члены в одну часть (например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным) и запишем в стандартном виде: $2x^2 + 7x - 4 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 9}{4}$ $x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$
Ответ: -4; $\frac{1}{2}$.