Страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

90. Постройте график функции $y = \frac{1}{4}x^2$. Найдите:

а) значение $y$ при $x = -2,5; -1,5; 3,5;$

б) значения $x$, при которых $y = 5; 3; 2;$

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{4}x^2$ составим таблицу значений. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = \frac{1}{4} > 0$).

Выберем несколько симметричных относительно нуля значений $x$ и вычислим соответствующие значения $y$:

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, получая параболу.

а) значение у при x = -2,5; -1,5; 3,5;

Чтобы найти значения $y$, подставим данные значения $x$ в формулу функции $y = \frac{1}{4}x^2$.

• При $x = -2,5$:
  $y = \frac{1}{4}(-2,5)^2 = \frac{1}{4}(6,25) = 1,5625$.
• При $x = -1,5$:
  $y = \frac{1}{4}(-1,5)^2 = \frac{1}{4}(2,25) = 0,5625$.
• При $x = 3,5$:
  $y = \frac{1}{4}(3,5)^2 = \frac{1}{4}(12,25) = 3,0625$.

Ответ: при $x=-2,5$, $y=1,5625$; при $x=-1,5$, $y=0,5625$; при $x=3,5$, $y=3,0625$.

б) значения x, при которых y = 5; 3; 2;

Чтобы найти значения $x$, подставим данные значения $y$ в формулу функции $y = \frac{1}{4}x^2$ и решим полученные уравнения относительно $x$.

• При $y = 5$:
  $5 = \frac{1}{4}x^2$
  $x^2 = 5 \cdot 4$
  $x^2 = 20$
  $x = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.
• При $y = 3$:
  $3 = \frac{1}{4}x^2$
  $x^2 = 3 \cdot 4$
  $x^2 = 12$
  $x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.
• При $y = 2$:
  $2 = \frac{1}{4}x^2$
  $x^2 = 2 \cdot 4$
  $x^2 = 8$
  $x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: при $y=5$, $x = \pm 2\sqrt{5}$; при $y=3$, $x = \pm 2\sqrt{3}$; при $y=2$, $x = \pm 2\sqrt{2}$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Функция $y = \frac{1}{4}x^2$ является параболой с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями вверх.
Это означает, что слева от вершины (при $x < 0$) значения функции уменьшаются с ростом $x$, а справа от вершины (при $x > 0$) значения функции увеличиваются с ростом $x$.

• Функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $0$.
• Функция возрастает, когда $x$ изменяется от $0$ до $+\infty$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

91. Постройте график функции $y = -2x^2$ и найдите:

а) значение $y$ при $x = -1,5; 0,6; 1,5;$

б) значения $x$, при которых $y = -1; -3; -4,5;$

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = -2x^2$ определим его основные свойства и найдем несколько точек.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Функция является четной, так как $y(-x) = -2(-x)^2 = -2x^2 = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси OY.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Построим график, используя эти точки.

а) значение у при x = -1,5; 0,6; 1,5;

Найдем значения функции, подставив указанные значения $x$ в формулу, или найдем их по графику.

При $x = -1,5$:
$y = -2 \cdot (-1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$

При $x = 0,6$:
$y = -2 \cdot (0,6)^2 = -2 \cdot 0,36 = -0,72$

При $x = 1,5$:
$y = -2 \cdot (1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$

Ответ: при $x=-1,5$, $y=-4,5$; при $x=0,6$, $y=-0,72$; при $x=1,5$, $y=-4,5$.

б) значения x, при которых y = -1; -3; -4,5;

Найдем значения $x$, решив уравнение $y = -2x^2$ для каждого значения $y$.

При $y = -1$:
$-1 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

При $y = -3$:
$-3 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

При $y = -4,5$:
$-4,5 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-4,5}{-2} = 2,25$
$x = \pm\sqrt{2,25} = \pm1,5$

Ответ: $y=-1$ при $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$; $y=-3$ при $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$; $y=-4,5$ при $x = \pm1,5$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Анализируя график, мы видим, что парабола имеет вершину в точке $(0,0)$ и ее ветви направлены вниз.

Слева от вершины, то есть при $x$ от $-\infty$ до $0$, график идет вверх. Это означает, что функция возрастает на этом промежутке.

Справа от вершины, то есть при $x$ от $0$ до $+\infty$, график идет вниз. Это означает, что функция убывает на этом промежутке.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

92. Постройте в одной системе координат графики функций $y = x^2$, $y = 1.8x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$.

Сравните значения этих функций при $x = 0.5$, $x = 1$ и $x = 2$.

Постройте в одной системе координат графики функций $y = x^2$, $y = 1,8x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$.

Все три функции вида $y = ax^2$ являются квадратичными функциями. Их графики — параболы, симметричные относительно оси ординат (оси OY), с вершиной в начале координат — точке (0, 0). Все параболы направлены ветвями вверх, так как коэффициент $a$ во всех трех случаях положителен ($1 > 0$, $1,8 > 0$, $\frac{1}{3} > 0$).

Коэффициент $a$ влияет на "ширину" параболы. Чем больше значение $|a|$, тем "уже" парабола, то есть она сильнее прижата к оси OY. Сравним коэффициенты:

$1,8 > 1 > \frac{1}{3}$

Это означает, что график функции $y = 1,8x^2$ будет самым узким, а график функции $y = \frac{1}{3}x^2$ — самым широким. График $y = x^2$ будет располагаться между ними.

Для построения графиков составим таблицу значений для каждой функции, выбрав несколько значений $x$.

Для построения необходимо начертить систему координат, отметить на ней точки из таблицы для каждой функции и соединить их плавными линиями, получив три параболы.

Ответ: Графики представляют собой три параболы с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх. Парабола $y = 1,8x^2$ является самой "узкой" (расположена выше остальных, кроме вершины), парабола $y = \frac{1}{3}x^2$ — самой "широкой" (расположена ниже остальных, кроме вершины), а парабола $y = x^2$ находится между ними.

Сравните значения этих функций при $x = 0,5, x = 1$ и $x = 2$.

Для сравнения значений функций подставим указанные значения $x$ в каждую формулу.

1. При $x = 0,5$:

• $y = x^2 = (0,5)^2 = 0,25$
• $y = 1,8x^2 = 1,8 \cdot (0,5)^2 = 1,8 \cdot 0,25 = 0,45$
• $y = \frac{1}{3}x^2 = \frac{1}{3} \cdot (0,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0,25 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$

Сравниваем полученные значения: $0,45 > 0,25 > \frac{1}{12}$. Таким образом, $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

2. При $x = 1$:

• $y = x^2 = 1^2 = 1$
• $y = 1,8x^2 = 1,8 \cdot 1^2 = 1,8$
• $y = \frac{1}{3}x^2 = \frac{1}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3}$

Сравниваем полученные значения: $1,8 > 1 > \frac{1}{3}$. Таким образом, $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

3. При $x = 2$:

• $y = x^2 = 2^2 = 4$
• $y = 1,8x^2 = 1,8 \cdot 2^2 = 1,8 \cdot 4 = 7,2$
• $y = \frac{1}{3}x^2 = \frac{1}{3} \cdot 2^2 = \frac{4}{3}$

Сравниваем полученные значения: $7,2 > 4 > \frac{4}{3}$. Таким образом, $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

Ответ:

• При $x = 0,5$: значение функции $y = 1,8x^2$ (равное 0,45) больше значения функции $y = x^2$ (равного 0,25), которое больше значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$ (равного $\frac{1}{12}$).
• При $x = 1$: значение функции $y = 1,8x^2$ (равное 1,8) больше значения функции $y = x^2$ (равного 1), которое больше значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$ (равного $\frac{1}{3}$).
• При $x = 2$: значение функции $y = 1,8x^2$ (равное 7,2) больше значения функции $y = x^2$ (равного 4), которое больше значения функции $y = \frac{1}{3}x^2$ (равного $\frac{4}{3}$).

93. Постройте в одной системе координат графики функций $y = 0,4x^2$ и $y = -0,4x^2$.
Какова область значений каждой из этих функций?

Построение графиков функций $y = 0,4x^2$ и $y = -0,4x^2$

Обе функции являются квадратичными вида $y=ax^2$. Их графики — параболы, симметричные относительно оси OY, с вершиной в начале координат $(0,0)$.

1. График функции $y = 0,4x^2$

Коэффициент $a=0,4 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Для построения найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику. Так как функция четная ($y(-x) = y(x)$), достаточно вычислить значения для неотрицательных $x$.

Составим таблицу значений:

2. График функции $y = -0,4x^2$

Коэффициент $a=-0,4 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Данный график можно получить, отразив симметрично график функции $y=0,4x^2$ относительно оси OX.

Составим таблицу значений:

Нанеся точки из таблиц на координатную плоскость и соединив их плавными линиями, мы получим графики обеих функций в одной системе координат.

Ответ: Графики функций — это две параболы с общей вершиной в точке (0,0) и общей осью симметрии OY. Парабола $y=0,4x^2$ имеет ветви, направленные вверх, а парабола $y=-0,4x^2$ — ветви, направленные вниз. Графики симметричны друг другу относительно оси OX.

Какова область значений каждой из этих функций?

Область значений функции (или множество значений) — это все значения, которые может принимать зависимая переменная $y$.

Для функции $y=0,4x^2$: так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, и $0,4 > 0$, то произведение $0,4x^2$ всегда будет неотрицательным. Следовательно, $y \ge 0$.

Для функции $y=-0,4x^2$: так как $x^2 \ge 0$, а $-0,4 < 0$, то произведение $-0,4x^2$ всегда будет неположительным. Следовательно, $y \le 0$.

Ответ: Область значений для функции $y=0,4x^2$ — это промежуток $[0; +\infty)$. Область значений для функции $y=-0,4x^2$ — это промежуток $(-\infty; 0]$.

94. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции:

а) $y = -1,5x^2$;

б) $y = 0,8x^2$.

Перечислите свойства этой функции.

a) $y = -1,5x^2$

График данной функции — это парабола вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = -1,5$.

Схематическое расположение графика:

График представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Поскольку коэффициент $a = -1,5$ является отрицательным ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. График расположен в III и IV координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy.

Свойства функции:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: множество всех не положительных чисел, $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -1,5(-x)^2 = -1,5x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Наименьшего значения не существует.

Ответ: График функции $y = -1,5x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0;0)$ и ветвями, направленными вниз. Свойства: область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, имеет максимум $y_{max}=0$ в точке $x=0$.

б) $y = 0,8x^2$

График данной функции — это парабола вида $y=ax^2$, где коэффициент $a = 0,8$.

Схематическое расположение графика:

График представляет собой параболу, вершина которой находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Поскольку коэффициент $a = 0,8$ является положительным ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх. График расположен в I и II координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy.

Свойства функции:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: множество всех не отрицательных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

5. Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = 0,8(-x)^2 = 0,8x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

6. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Наибольшего значения не существует.

Ответ: График функции $y = 0,8x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0;0)$ и ветвями, направленными вверх. Свойства: область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, имеет минимум $y_{min}=0$ в точке $x=0$.

95. Изобразите схематически график и перечислите свойства функции:

а) $y = 0,2x^2$;

б) $y = -10x^2$.

а) $y = 0,2x^2$;

Схематическое изображение графика:
Графиком функции $y = 0,2x^2$ является парабола. Основные характеристики графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $a = 0,2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $|a| = |0,2| < 1$, парабола "шире" по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.
• График симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как функция является четной.

Схематически это парабола, выходящая из точки $(0,0)$ с ветвями, плавно уходящими вверх.

Свойства функции:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: множество всех неотрицательных чисел, так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = 0,2(-x)^2 = 0,2x^2 = y(x)$.
4. Нули функции: $y=0$ при $0,2x^2=0$, что означает $x=0$. График пересекает оси координат только в точке $(0,0)$.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = y(0) = 0$. Максимума у функции нет.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх. Свойства: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(y)=[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума $(0,0)$.

б) $y = -10x^2$.

Схематическое изображение графика:
Графиком функции $y = -10x^2$ является парабола. Основные характеристики графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $a = -10$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Поскольку $|a| = |-10| > 1$, парабола "уже" по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$ (сильно вытянута вдоль оси $Oy$).
• График симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как функция является четной.

Схематически это парабола, выходящая из точки $(0,0)$ с ветвями, круто уходящими вниз.

Свойства функции:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: множество всех неположительных чисел, так как $x^2 \ge 0$, то $-10x^2 \le 0$, следовательно $y \le 0$. $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = -10(-x)^2 = -10x^2 = y(x)$.
4. Нули функции: $y=0$ при $-10x^2=0$, что означает $x=0$. График пересекает оси координат только в точке $(0,0)$.
5. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = y(0) = 0$. Минимума у функции нет.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вниз. Свойства: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, точка максимума $(0,0)$.