Номер 91, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

91. Постройте график функции $y = -2x^2$ и найдите:

а) значение $y$ при $x = -1,5; 0,6; 1,5;$

б) значения $x$, при которых $y = -1; -3; -4,5;$

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = -2x^2$ определим его основные свойства и найдем несколько точек.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательный), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Функция является четной, так как $y(-x) = -2(-x)^2 = -2x^2 = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси OY.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

Построим график, используя эти точки.

а) значение у при x = -1,5; 0,6; 1,5;

Найдем значения функции, подставив указанные значения $x$ в формулу, или найдем их по графику.

При $x = -1,5$:
$y = -2 \cdot (-1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$

При $x = 0,6$:
$y = -2 \cdot (0,6)^2 = -2 \cdot 0,36 = -0,72$

При $x = 1,5$:
$y = -2 \cdot (1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$

Ответ: при $x=-1,5$, $y=-4,5$; при $x=0,6$, $y=-0,72$; при $x=1,5$, $y=-4,5$.

б) значения x, при которых y = -1; -3; -4,5;

Найдем значения $x$, решив уравнение $y = -2x^2$ для каждого значения $y$.

При $y = -1$:
$-1 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

При $y = -3$:
$-3 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
$x = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$

При $y = -4,5$:
$-4,5 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-4,5}{-2} = 2,25$
$x = \pm\sqrt{2,25} = \pm1,5$

Ответ: $y=-1$ при $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$; $y=-3$ при $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$; $y=-4,5$ при $x = \pm1,5$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Анализируя график, мы видим, что парабола имеет вершину в точке $(0,0)$ и ее ветви направлены вниз.

Слева от вершины, то есть при $x$ от $-\infty$ до $0$, график идет вверх. Это означает, что функция возрастает на этом промежутке.

Справа от вершины, то есть при $x$ от $0$ до $+\infty$, график идет вниз. Это означает, что функция убывает на этом промежутке.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.