Номер 1, страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1 Дайте определение квадратного трёхчлена. Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?

Дайте определение квадратного трёхчлена

Квадратным трёхчленом называется многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, $a, b, c$ — некоторые числа (называемые коэффициентами), причём обязательно $a \neq 0$.

• $a$ — старший коэффициент (коэффициент при $x^2$);
• $b$ — второй коэффициент (коэффициент при $x$);
• $c$ — свободный член.

Название «квадратный» происходит от того, что наибольшая степень переменной $x$ равна двум (квадрат). Название «трёхчлен» указывает на то, что он состоит из трёх слагаемых (одночленов): $ax^2$, $bx$ и $c$.

Ответ: Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Сколько корней может иметь квадратный трёхчлен?

Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной $x$, при котором значение этого трёхчлена равно нулю. То есть, это корень соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Количество корней квадратного трёхчлена зависит от знака его дискриминанта. Дискриминант ($D$) вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$

Возможны три случая:

1. Если $D > 0$ (дискриминант положителен), то квадратный трёхчлен имеет два различных действительных корня. Они находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
2. Если $D = 0$ (дискриминант равен нулю), то квадратный трёхчлен имеет один действительный корень (или, как иногда говорят, два одинаковых корня). Он находится по формуле: $x = -\frac{b}{2a}$
3. Если $D < 0$ (дискриминант отрицателен), то квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Таким образом, квадратный трёхчлен может иметь два корня, один корень или не иметь корней совсем (в области действительных чисел).

Ответ: Квадратный трёхчлен может иметь два, один или ни одного действительного корня.