Номер 90, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

90. Постройте график функции $y = \frac{1}{4}x^2$. Найдите:

а) значение $y$ при $x = -2,5; -1,5; 3,5;$

б) значения $x$, при которых $y = 5; 3; 2;$

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{4}x^2$ составим таблицу значений. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a = \frac{1}{4} > 0$).

Выберем несколько симметричных относительно нуля значений $x$ и вычислим соответствующие значения $y$:

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, получая параболу.

а) значение у при x = -2,5; -1,5; 3,5;

Чтобы найти значения $y$, подставим данные значения $x$ в формулу функции $y = \frac{1}{4}x^2$.

• При $x = -2,5$:
  $y = \frac{1}{4}(-2,5)^2 = \frac{1}{4}(6,25) = 1,5625$.
• При $x = -1,5$:
  $y = \frac{1}{4}(-1,5)^2 = \frac{1}{4}(2,25) = 0,5625$.
• При $x = 3,5$:
  $y = \frac{1}{4}(3,5)^2 = \frac{1}{4}(12,25) = 3,0625$.

Ответ: при $x=-2,5$, $y=1,5625$; при $x=-1,5$, $y=0,5625$; при $x=3,5$, $y=3,0625$.

б) значения x, при которых y = 5; 3; 2;

Чтобы найти значения $x$, подставим данные значения $y$ в формулу функции $y = \frac{1}{4}x^2$ и решим полученные уравнения относительно $x$.

• При $y = 5$:
  $5 = \frac{1}{4}x^2$
  $x^2 = 5 \cdot 4$
  $x^2 = 20$
  $x = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$.
• При $y = 3$:
  $3 = \frac{1}{4}x^2$
  $x^2 = 3 \cdot 4$
  $x^2 = 12$
  $x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.
• При $y = 2$:
  $2 = \frac{1}{4}x^2$
  $x^2 = 2 \cdot 4$
  $x^2 = 8$
  $x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: при $y=5$, $x = \pm 2\sqrt{5}$; при $y=3$, $x = \pm 2\sqrt{3}$; при $y=2$, $x = \pm 2\sqrt{2}$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Функция $y = \frac{1}{4}x^2$ является параболой с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями вверх.
Это означает, что слева от вершины (при $x < 0$) значения функции уменьшаются с ростом $x$, а справа от вершины (при $x > 0$) значения функции увеличиваются с ростом $x$.

• Функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $0$.
• Функция возрастает, когда $x$ изменяется от $0$ до $+\infty$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.