Номер 95, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

95. Изобразите схематически график и перечислите свойства функции:

а) $y = 0,2x^2$;

б) $y = -10x^2$.

а) $y = 0,2x^2$;

Схематическое изображение графика:
Графиком функции $y = 0,2x^2$ является парабола. Основные характеристики графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $a = 0,2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $|a| = |0,2| < 1$, парабола "шире" по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.
• График симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как функция является четной.

Схематически это парабола, выходящая из точки $(0,0)$ с ветвями, плавно уходящими вверх.

Свойства функции:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: множество всех неотрицательных чисел, так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = 0,2(-x)^2 = 0,2x^2 = y(x)$.
4. Нули функции: $y=0$ при $0,2x^2=0$, что означает $x=0$. График пересекает оси координат только в точке $(0,0)$.
5. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
6. Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = y(0) = 0$. Максимума у функции нет.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх. Свойства: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(y)=[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума $(0,0)$.

б) $y = -10x^2$.

Схематическое изображение графика:
Графиком функции $y = -10x^2$ является парабола. Основные характеристики графика:

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Коэффициент при $x^2$ равен $a = -10$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Поскольку $|a| = |-10| > 1$, парабола "уже" по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$ (сильно вытянута вдоль оси $Oy$).
• График симметричен относительно оси ординат ($Oy$), так как функция является четной.

Схематически это парабола, выходящая из точки $(0,0)$ с ветвями, круто уходящими вниз.

Свойства функции:

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: множество всех неположительных чисел, так как $x^2 \ge 0$, то $-10x^2 \le 0$, следовательно $y \le 0$. $E(y) = (-\infty; 0]$.
3. Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = -10(-x)^2 = -10x^2 = y(x)$.
4. Нули функции: $y=0$ при $-10x^2=0$, что означает $x=0$. График пересекает оси координат только в точке $(0,0)$.
5. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = y(0) = 0$. Минимума у функции нет.
8. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График — парабола с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вниз. Свойства: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, точка максимума $(0,0)$.