Номер 100, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

100. При каких значениях $k$ прямая $y = kx - 4$ имеет с параболой $y = x^2$ только одну общую точку?

Для того чтобы прямая $y = kx - 4$ и парабола $y = x^2$ имели только одну общую точку, система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь единственное решение. Точка пересечения является общей для обоих графиков, поэтому в ней координаты x и y совпадают.

Приравняем выражения для y:

$x^2 = kx - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно x:

$x^2 - kx + 4 = 0$

Это уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. Оно имеет единственное решение (один корень) в том случае, когда его дискриминант равен нулю. Наличие одного корня для x означает, что у графиков есть только одна общая точка (точка касания).

Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения. Коэффициенты уравнения следующие:

• $a = 1$
• $b = -k$
• $c = 4$

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Подставим в нее наши коэффициенты:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и найдем значения k:

$k^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить, перенеся 16 в правую часть:

$k^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для k:

$k_1 = \sqrt{16} = 4$

$k_2 = -\sqrt{16} = -4$

Следовательно, при $k = 4$ и $k = -4$ прямая и парабола будут иметь ровно одну общую точку.

Ответ: $k = -4$ и $k = 4$.