Страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

96. Пересекаются ли парабола $y = 2x^2$ и прямая:

а) $y = 50$;

б) $y = 100$;

в) $y = -8$;

г) $y = 14x - 20$?

Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

а) Чтобы определить, пересекаются ли парабола $y=2x^2$ и прямая $y=50$, нужно найти общие точки, решив систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 50 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 50$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = 25$
Из этого уравнения находим значения $x$:
$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Поскольку мы получили два действительных корня, графики пересекаются в двух точках. Координата $y$ для обеих точек равна 50.
Таким образом, точки пересечения: $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.

б) Рассмотрим пересечение параболы $y=2x^2$ и прямой $y=100$. Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 100 \end{cases} $
Приравняем правые части:
$2x^2 = 100$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = 50$
Находим значения $x$:
$x = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm5\sqrt{2}$.
$x_1 = 5\sqrt{2}$ и $x_2 = -5\sqrt{2}$.
Получены два действительных корня, значит, графики пересекаются в двух точках. Координата $y$ для обеих точек равна 100.
Точки пересечения: $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.

в) Проверим пересечение параболы $y=2x^2$ и прямой $y=-8$. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = -8 \end{cases} $
Приравняем правые части:
$2x^2 = -8$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = -4$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, парабола и прямая не имеют общих точек.
Ответ: Нет, не пересекаются.

г) Найдем точки пересечения параболы $y=2x^2$ и прямой $y=14x-20$. Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 14x - 20 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 14x - 20$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 14x + 20 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{7+3}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7-3}{2} = 2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x_1$ и $x_2$ в уравнение параболы $y=2x^2$:
Для $x_1 = 5$: $y_1 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.
Для $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Таким образом, точки пересечения: $(5, 50)$ и $(2, 8)$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(5, 50)$ и $(2, 8)$.

97. Принадлежит ли графику функции $y = -100x^2$ точка:

а) $M(1,5; -225);$

б) $K(-3; -900);$

в) $P(2; 400)?$

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x, y)$ в уравнение функции $y = -100x^2$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

а) M(1,5; -225)

Подставим координаты точки M, где $x = 1,5$ и $y = -225$, в уравнение функции:

$-225 = -100 \cdot (1,5)^2$

$-225 = -100 \cdot 2,25$

$-225 = -225$

Равенство верное, следовательно, точка M принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) K(-3; -900)

Подставим координаты точки K, где $x = -3$ и $y = -900$, в уравнение функции:

$-900 = -100 \cdot (-3)^2$

$-900 = -100 \cdot 9$

$-900 = -900$

Равенство верное, следовательно, точка K принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) P(2; 400)

Подставим координаты точки P, где $x = 2$ и $y = 400$, в уравнение функции:

$400 = -100 \cdot (2)^2$

$400 = -100 \cdot 4$

$400 = -400$

Равенство неверное ($400 \neq -400$), следовательно, точка P не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

98. Найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$. Выполните графическую иллюстрацию.

Нахождение координат точек пересечения

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$, необходимо решить систему этих двух уравнений. В точках пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают, поэтому можно приравнять правые части уравнений:
$-x^2 = 2x - 3$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета, согласно которой для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Методом подбора находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$) для каждого найденного значения абсциссы ($x$), подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение параболы $y = -x^2$.
Для $x_1 = 1$:
$y_1 = -(1)^2 = -1$.
Первая точка пересечения имеет координаты $(1, -1)$.

Для $x_2 = -3$:
$y_2 = -(-3)^2 = -9$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, -9)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-3, -9)$.

Графическая иллюстрация

Для наглядного представления решения построим графики обеих функций в одной декартовой системе координат. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. График функции $y = 2x - 3$ — это прямая. На графике ниже показаны обе функции и их точки пересечения, которые совпадают с результатами, полученными аналитически.

Ответ: Графическая иллюстрация, подтверждающая найденные точки пересечения, представлена на рисунке.

99. Изобразите схематически графики функций $y = 0,01x^2$ и $y = 10x$. Графики этих функций имеют общую точку $O(0; 0)$. Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек.

1. Изображение схематических графиков

Для построения схематических графиков проанализируем каждую функцию.

Функция $y = 0,01x^2$ является квадратичной. Ее график — парабола.

• Вершина параболы находится в начале координат, в точке (0; 0).
• Коэффициент при $x^2$ равен 0,01. Так как $0,01 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Малое значение коэффициента (0,01) означает, что парабола является очень "широкой", то есть ее ветви поднимаются медленно по сравнению со стандартной параболой $y=x^2$.

Функция $y = 10x$ является линейной. Ее график — прямая линия.

• Прямая проходит через начало координат (0; 0), так как при $x=0$ значение $y$ также равно 0.
• Угловой коэффициент $k=10$. Так как коэффициент положителен и велик, прямая сильно наклонена к положительному направлению оси Ox (является "крутой") и проходит через I и III координатные четверти.

Схематически, оба графика начинаются в точке O(0; 0). Прямая $y=10x$ вначале растет значительно быстрее, чем парабола $y=0,01x^2$. Однако, поскольку степень $x$ у параболы выше ($x^2$ против $x$), при больших значениях $x$ рост параболы ускоряется и в итоге она пересекает прямую еще раз в первой координатной четверти.

2. Поиск других общих точек

В условии сказано, что графики имеют общую точку O(0; 0). Чтобы выяснить, существуют ли другие общие точки, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = 0,01x^2 \\ y = 10x \end{cases}$

Приравняем правые части этих уравнений, так как в точках пересечения координаты $x$ и $y$ у графиков совпадают:

$0,01x^2 = 10x$

Для решения уравнения перенесем все его члены в одну сторону:

$0,01x^2 - 10x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(0,01x - 10) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных значения для $x$:

1) $x_1 = 0$

2) $0,01x - 10 = 0$

Решим второе уравнение:

$0,01x = 10$

$x_2 = \frac{10}{0,01} = 1000$

Мы получили две абсциссы точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1000$. Это подтверждает, что у графиков есть еще одна общая точка, кроме той, что в начале координат.

Теперь найдем ординату ($y$) для второй точки, подставив $x_2 = 1000$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение прямой $y = 10x$:

$y_2 = 10 \cdot 1000 = 10000$

Таким образом, вторая общая точка имеет координаты (1000; 10000).

Ответ: Да, графики этих функций имеют еще одну общую точку. Координаты этой точки (1000; 10000).

100. При каких значениях $k$ прямая $y = kx - 4$ имеет с параболой $y = x^2$ только одну общую точку?

Для того чтобы прямая $y = kx - 4$ и парабола $y = x^2$ имели только одну общую точку, система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь единственное решение. Точка пересечения является общей для обоих графиков, поэтому в ней координаты x и y совпадают.

Приравняем выражения для y:

$x^2 = kx - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно x:

$x^2 - kx + 4 = 0$

Это уравнение является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$. Оно имеет единственное решение (один корень) в том случае, когда его дискриминант равен нулю. Наличие одного корня для x означает, что у графиков есть только одна общая точка (точка касания).

Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения. Коэффициенты уравнения следующие:

• $a = 1$
• $b = -k$
• $c = 4$

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. Подставим в нее наши коэффициенты:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и найдем значения k:

$k^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить, перенеся 16 в правую часть:

$k^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для k:

$k_1 = \sqrt{16} = 4$

$k_2 = -\sqrt{16} = -4$

Следовательно, при $k = 4$ и $k = -4$ прямая и парабола будут иметь ровно одну общую точку.

Ответ: $k = -4$ и $k = 4$.

101. Площадь круга $S$ ($\text{см}^2$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ (см) — радиус круга. Постройте график функции $S = \pi r^2$ и найдите по графику:

a) площадь круга, если его радиус равен 1,3 см; 0,8 см; 2,1 см;

б) радиус круга, площадь которого равна $1,8 \text{ см}^2$; $2,5 \text{ см}^2$; $6,5 \text{ см}^2$.

Для решения задачи построим график функции зависимости площади круга $S$ от его радиуса $r$, заданной формулой $S = \pi r^2$. Примем значение $\pi \approx 3,14$.

График этой функции представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат. Ось абсцисс будет соответствовать радиусу $r$ (в см), а ось ординат — площади $S$ (в см²). Поскольку радиус не может быть отрицательным ($r \ge 0$), мы рассматриваем только правую часть графика.

Составим таблицу значений для построения графика:

Соединив эти точки плавной линией на координатной плоскости, мы получим искомый график. Теперь, используя этот график, найдем требуемые значения. Следует помнить, что результаты, полученные с помощью графика, являются приблизительными.

а) Чтобы найти площадь круга по радиусу, необходимо найти заданное значение радиуса $r$ на горизонтальной оси, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком функции, а затем от точки пересечения провести перпендикуляр к вертикальной оси и считать значение площади $S$.

- Если радиус $r = 1,3$ см, находим на оси $r$ значение 1,3, движемся вверх до графика и затем влево к оси $S$. Получаем значение площади примерно $S \approx 5,3$ см².

- Если радиус $r = 0,8$ см, аналогично находим на графике, что площадь $S \approx 2,0$ см².

- Если радиус $r = 2,1$ см, находим на графике, что площадь $S \approx 13,9$ см².

Ответ: при $r = 1,3$ см, $S \approx 5,3$ см²; при $r = 0,8$ см, $S \approx 2,0$ см²; при $r = 2,1$ см, $S \approx 13,9$ см².

б) Чтобы найти радиус круга по площади, нужно выполнить обратную операцию. Находим заданное значение площади $S$ на вертикальной оси, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения опускаем перпендикуляр на горизонтальную ось и считываем значение радиуса $r$.

- Если площадь $S = 1,8$ см², находим на оси $S$ значение 1,8, движемся вправо до графика и затем вниз к оси $r$. Получаем значение радиуса примерно $r \approx 0,75$ см.

- Если площадь $S = 2,5$ см², аналогично находим на графике, что радиус $r \approx 0,9$ см.

- Если площадь $S = 6,5$ см², находим на графике, что радиус $r \approx 1,45$ см.

Ответ: при $S = 1,8$ см², $r \approx 0,75$ см; при $S = 2,5$ см², $r \approx 0,9$ см; при $S = 6,5$ см², $r \approx 1,45$ см.

102. Площадь поверхности куба y (см²) зависит от ребра куба x (см). Задайте эту зависимость формулой ($y = 6x^2$). Постройте её график и найдите по графику:

а) площадь поверхности куба, если его ребро равно 0,9 см; 1,5 см; 1,8 см;

б) длину ребра, если площадь поверхности куба равна 7 см²; 10 см²; 14 см².

Пусть $x$ (см) — длина ребра куба, а $y$ (см²) — площадь его поверхности. Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой квадрат со стороной $x$. Площадь одной такой грани равна $x^2$. Следовательно, площадь полной поверхности куба $y$ равна сумме площадей шести его граней. Эта зависимость задается формулой: $y = 6x^2$.

Для построения графика этой зависимости необходимо составить таблицу значений. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат (0, 0). Поскольку длина ребра $x$ не может быть отрицательной ($x \ge 0$), мы строим только ту часть графика, которая находится в первой координатной четверти.

Выберем несколько точек для построения графика:
при $x = 0$, $y = 6 \cdot 0^2 = 0$;
при $x = 0,5$, $y = 6 \cdot (0,5)^2 = 1,5$;
при $x = 1$, $y = 6 \cdot 1^2 = 6$;
при $x = 1,5$, $y = 6 \cdot (1,5)^2 = 13,5$;
при $x = 2$, $y = 6 \cdot 2^2 = 24$.

Отметив эти точки (0; 0), (0,5; 1,5), (1; 6), (1,5; 13,5), (2; 24) на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график зависимости $y = 6x^2$. По этому графику найдем требуемые значения.

а) площадь поверхности куба, если его ребро равно 0,9 см; 1,5 см; 1,8 см;
Чтобы найти площадь поверхности $y$ по известной длине ребра $x$, нужно найти на горизонтальной оси (оси $x$) заданное значение, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести перпендикуляр к вертикальной оси (оси $y$) и определить соответствующее значение.
- Если $x = 0,9$ см, по графику находим, что $y \approx 4,9$ см². (Точный расчет: $y = 6 \cdot (0,9)^2 = 6 \cdot 0,81 = 4,86$ см²).
- Если $x = 1,5$ см, по графику находим, что $y = 13,5$ см². (Точный расчет: $y = 6 \cdot (1,5)^2 = 6 \cdot 2,25 = 13,5$ см²).
- Если $x = 1,8$ см, по графику находим, что $y \approx 19,4$ см². (Точный расчет: $y = 6 \cdot (1,8)^2 = 6 \cdot 3,24 = 19,44$ см²).
Ответ: при ребре 0,9 см площадь поверхности приблизительно равна 4,9 см²; при ребре 1,5 см — 13,5 см²; при ребре 1,8 см — приблизительно 19,4 см².

б) длину ребра, если площадь поверхности куба равна 7 см²; 10 см²; 14 см².
Чтобы найти длину ребра $x$ по известной площади поверхности $y$, нужно найти на вертикальной оси (оси $y$) заданное значение, провести перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустить перпендикуляр на горизонтальную ось (ось $x$) и определить соответствующее значение.
- Если $y = 7$ см², по графику находим, что $x \approx 1,1$ см. (Точный расчет из формулы $x=\sqrt{y/6}$: $x = \sqrt{7/6} \approx 1,08$ см).
- Если $y = 10$ см², по графику находим, что $x \approx 1,3$ см. (Точный расчет: $x = \sqrt{10/6} \approx 1,29$ см).
- Если $y = 14$ см², по графику находим, что $x \approx 1,5$ см. (Точный расчет: $x = \sqrt{14/6} \approx 1,53$ см).
Ответ: при площади 7 см² длина ребра приблизительно равна 1,1 см; при площади 10 см² — приблизительно 1,3 см; при площади 14 см² — приблизительно 1,5 см.

103. Сколько корней имеет квадратный трёхчлен:

а) $3x^2 - 8x + 2;$

б) $-\frac{1}{2}y^2 + 6y - 18;$

в) $m^2 - 3m + 3?$

Чтобы определить, сколько корней имеет квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$, нужно вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Количество корней зависит от знака дискриминанта:

• Если $D > 0$, трёхчлен имеет два различных корня.
• Если $D = 0$, трёхчлен имеет один корень (или два одинаковых корня).
• Если $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней.

а) $3x^2 - 8x + 2$

Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -8$, $c = 2$.

Найдём дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 64 - 24 = 40$.

Поскольку $D = 40 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

б) $-\frac{1}{2}y^2 + 6y - 18$

Коэффициенты данного трёхчлена: $a = -\frac{1}{2}$, $b = 6$, $c = -18$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-18) = 36 - 36 = 0$.

Поскольку $D = 0$, квадратный трёхчлен имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

в) $m^2 - 3m + 3$

Здесь коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -3$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Поскольку $D = -3 < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

104. Сократите дробь:

а) $ \frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2} $;

б) $ \frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2} $.

а) $\frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2}$

Для того чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить ее знаменатель на множители. Знаменатель $10a^2 - a - 2$ является квадратным трехчленом.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10a^2 - a - 2 = 0$ через дискриминант.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-2) = 1 + 80 = 81$

Корни уравнения находятся по формуле $a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$a_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 10} = \frac{1 + 9}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 10} = \frac{1 - 9}{20} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители, используя формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$10a^2 - a - 2 = 10(a - \frac{1}{2})(a - (-\frac{2}{5})) = 10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5})$

Для удобства внесем множитель 10 в скобки, представив его как $2 \cdot 5$:

$10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5}) = (2(a - \frac{1}{2})) \cdot (5(a + \frac{2}{5})) = (2a - 1)(5a + 2)$

Подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби и сократим общий множитель $(2a - 1)$:

$\frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2} = \frac{2a - 1}{(2a - 1)(5a + 2)} = \frac{1}{5a + 2}$

Ответ: $\frac{1}{5a + 2}$

б) $\frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2}$

Чтобы сократить эту дробь, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

1. Разложим на множители числитель $6a^2 - 5a + 1$. Для этого найдем корни уравнения $6a^2 - 5a + 1 = 0$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Разложим числитель на множители:

$6a^2 - 5a + 1 = 6(a - \frac{1}{2})(a - \frac{1}{3}) = (2 \cdot (a - \frac{1}{2}))(3 \cdot (a - \frac{1}{3})) = (2a - 1)(3a - 1)$

2. Разложим на множители знаменатель $1 - 4a^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$1 - 4a^2 = 1^2 - (2a)^2 = (1 - 2a)(1 + 2a)$

3. Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2} = \frac{(2a - 1)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)}$

Множители $(2a - 1)$ и $(1 - 2a)$ являются противоположными, так как $2a - 1 = -(1 - 2a)$. Выполним замену и сократим дробь:

$\frac{-(1 - 2a)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)} = \frac{-(3a - 1)}{1 + 2a} = \frac{1 - 3a}{1 + 2a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a}{1 + 2a}$

105. Решите уравнение

$(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x - 2)^2 + (x + 2)^2$

и отметьте его корни на координатной прямой.

Решите уравнение
Дано уравнение: $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x - 2)^2 + (x + 2)^2$.
Для решения уравнения преобразуем обе jego части.

Левую часть можно упростить, применив формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = ((x + 3) - (x - 3)) \cdot ((x + 3) + (x - 3)) = (x + 3 - x + 3) \cdot (x + 3 + x - 3) = 6 \cdot 2x = 12x$.

Правую часть упростим, раскрыв скобки по формуле квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:
$(x - 2)^2 + (x + 2)^2 = (x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 8$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:
$12x = 2x^2 + 8$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2x^2 - 12x + 8 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 6x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант.
В нашем случае коэффициенты: $a=1$, $b=-6$, $c=4$.
Найдем дискриминант:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Вычисляем корни:
$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm 2\sqrt{5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$.
Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Ответ: $x_1 = 3 - \sqrt{5}, x_2 = 3 + \sqrt{5}$.

Отметьте его корни на координатной прямой
Нам нужно отметить на координатной прямой два корня: $x_1 = 3 - \sqrt{5}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{5}$.
Для этого найдем их приблизительные значения, зная, что $\sqrt{5} \approx 2.24$.
$x_1 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$
$x_2 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$
Нанесем эти значения на координатную прямую.

Ответ: Корни $3 - \sqrt{5}$ и $3 + \sqrt{5}$ отмечены на координатной прямой красными точками.