Номер 96, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

96. Пересекаются ли парабола $y = 2x^2$ и прямая:

а) $y = 50$;

б) $y = 100$;

в) $y = -8$;

г) $y = 14x - 20$?

Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

а) Чтобы определить, пересекаются ли парабола $y=2x^2$ и прямая $y=50$, нужно найти общие точки, решив систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 50 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 50$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = 25$
Из этого уравнения находим значения $x$:
$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Поскольку мы получили два действительных корня, графики пересекаются в двух точках. Координата $y$ для обеих точек равна 50.
Таким образом, точки пересечения: $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.

б) Рассмотрим пересечение параболы $y=2x^2$ и прямой $y=100$. Составим и решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 100 \end{cases} $
Приравняем правые части:
$2x^2 = 100$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = 50$
Находим значения $x$:
$x = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm5\sqrt{2}$.
$x_1 = 5\sqrt{2}$ и $x_2 = -5\sqrt{2}$.
Получены два действительных корня, значит, графики пересекаются в двух точках. Координата $y$ для обеих точек равна 100.
Точки пересечения: $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.

в) Проверим пересечение параболы $y=2x^2$ и прямой $y=-8$. Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = -8 \end{cases} $
Приравняем правые части:
$2x^2 = -8$
Разделим обе части на 2:
$x^2 = -4$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, парабола и прямая не имеют общих точек.
Ответ: Нет, не пересекаются.

г) Найдем точки пересечения параболы $y=2x^2$ и прямой $y=14x-20$. Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = 2x^2 \\ y = 14x - 20 \end{cases} $
Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 14x - 20$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 14x + 20 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{7+3}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7-3}{2} = 2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x_1$ и $x_2$ в уравнение параболы $y=2x^2$:
Для $x_1 = 5$: $y_1 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.
Для $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Таким образом, точки пересечения: $(5, 50)$ и $(2, 8)$.
Ответ: Да, пересекаются. Координаты точек пересечения: $(5, 50)$ и $(2, 8)$.