Номер 98, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

98. Найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$. Выполните графическую иллюстрацию.

Нахождение координат точек пересечения

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$, необходимо решить систему этих двух уравнений. В точках пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают, поэтому можно приравнять правые части уравнений:
$-x^2 = 2x - 3$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета, согласно которой для корней $x_1$ и $x_2$ выполняются равенства: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -3$. Методом подбора находим корни:
$x_1 = 1$
$x_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$) для каждого найденного значения абсциссы ($x$), подставив их в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение параболы $y = -x^2$.
Для $x_1 = 1$:
$y_1 = -(1)^2 = -1$.
Первая точка пересечения имеет координаты $(1, -1)$.

Для $x_2 = -3$:
$y_2 = -(-3)^2 = -9$.
Вторая точка пересечения имеет координаты $(-3, -9)$.

Ответ: $(1, -1)$ и $(-3, -9)$.

Графическая иллюстрация

Для наглядного представления решения построим графики обеих функций в одной декартовой системе координат. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. График функции $y = 2x - 3$ — это прямая. На графике ниже показаны обе функции и их точки пересечения, которые совпадают с результатами, полученными аналитически.

Ответ: Графическая иллюстрация, подтверждающая найденные точки пересечения, представлена на рисунке.