Номер 102, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

102. Площадь поверхности куба y (см²) зависит от ребра куба x (см). Задайте эту зависимость формулой ($y = 6x^2$). Постройте её график и найдите по графику:

а) площадь поверхности куба, если его ребро равно 0,9 см; 1,5 см; 1,8 см;

б) длину ребра, если площадь поверхности куба равна 7 см²; 10 см²; 14 см².

Пусть $x$ (см) — длина ребра куба, а $y$ (см²) — площадь его поверхности. Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой квадрат со стороной $x$. Площадь одной такой грани равна $x^2$. Следовательно, площадь полной поверхности куба $y$ равна сумме площадей шести его граней. Эта зависимость задается формулой: $y = 6x^2$.

Для построения графика этой зависимости необходимо составить таблицу значений. Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в начале координат (0, 0). Поскольку длина ребра $x$ не может быть отрицательной ($x \ge 0$), мы строим только ту часть графика, которая находится в первой координатной четверти.

Выберем несколько точек для построения графика:
при $x = 0$, $y = 6 \cdot 0^2 = 0$;
при $x = 0,5$, $y = 6 \cdot (0,5)^2 = 1,5$;
при $x = 1$, $y = 6 \cdot 1^2 = 6$;
при $x = 1,5$, $y = 6 \cdot (1,5)^2 = 13,5$;
при $x = 2$, $y = 6 \cdot 2^2 = 24$.

Отметив эти точки (0; 0), (0,5; 1,5), (1; 6), (1,5; 13,5), (2; 24) на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график зависимости $y = 6x^2$. По этому графику найдем требуемые значения.

а) площадь поверхности куба, если его ребро равно 0,9 см; 1,5 см; 1,8 см;
Чтобы найти площадь поверхности $y$ по известной длине ребра $x$, нужно найти на горизонтальной оси (оси $x$) заданное значение, восстановить перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести перпендикуляр к вертикальной оси (оси $y$) и определить соответствующее значение.
- Если $x = 0,9$ см, по графику находим, что $y \approx 4,9$ см². (Точный расчет: $y = 6 \cdot (0,9)^2 = 6 \cdot 0,81 = 4,86$ см²).
- Если $x = 1,5$ см, по графику находим, что $y = 13,5$ см². (Точный расчет: $y = 6 \cdot (1,5)^2 = 6 \cdot 2,25 = 13,5$ см²).
- Если $x = 1,8$ см, по графику находим, что $y \approx 19,4$ см². (Точный расчет: $y = 6 \cdot (1,8)^2 = 6 \cdot 3,24 = 19,44$ см²).
Ответ: при ребре 0,9 см площадь поверхности приблизительно равна 4,9 см²; при ребре 1,5 см — 13,5 см²; при ребре 1,8 см — приблизительно 19,4 см².

б) длину ребра, если площадь поверхности куба равна 7 см²; 10 см²; 14 см².
Чтобы найти длину ребра $x$ по известной площади поверхности $y$, нужно найти на вертикальной оси (оси $y$) заданное значение, провести перпендикуляр до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения опустить перпендикуляр на горизонтальную ось (ось $x$) и определить соответствующее значение.
- Если $y = 7$ см², по графику находим, что $x \approx 1,1$ см. (Точный расчет из формулы $x=\sqrt{y/6}$: $x = \sqrt{7/6} \approx 1,08$ см).
- Если $y = 10$ см², по графику находим, что $x \approx 1,3$ см. (Точный расчет: $x = \sqrt{10/6} \approx 1,29$ см).
- Если $y = 14$ см², по графику находим, что $x \approx 1,5$ см. (Точный расчет: $x = \sqrt{14/6} \approx 1,53$ см).
Ответ: при площади 7 см² длина ребра приблизительно равна 1,1 см; при площади 10 см² — приблизительно 1,3 см; при площади 14 см² — приблизительно 1,5 см.