Номер 108, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

108. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график функции:

а) $y = x^2 + 2$;

б) $y = -x^2 - 1$;

в) $y = (x + 4)^2$;

г) $y = -(x - 3)^2$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования графика базовой функции $y=x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

а) $y = x^2 + 2$

График функции $y = x^2 + 2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат $Oy$ на 2 единицы вверх. Это означает, что каждая точка графика $y = x^2$ смещается на 2 единицы вверх. Вершина параболы, которая у $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$, переместится в точку $(0, 2)$. Направление ветвей параболы не изменится — они по-прежнему будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вверх.

б) $y = -x^2 - 1$

Построение графика функции $y = -x^2 - 1$ выполняется в два этапа:
1. Сначала строим график функции $y = -x^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс $Ox$. Вершина параболы останется в точке $(0, 0)$, но ее ветви будут направлены вниз.
2. Затем, полученный график $y = -x^2$ сдвигаем параллельным переносом вдоль оси ординат $Oy$ на 1 единицу вниз. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 1$ — это парабола $y = x^2$, отраженная относительно оси $Ox$ и сдвинутая на 1 единицу вниз.

в) $y = (x + 4)^2$

График функции $y = (x + 4)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс $Ox$ на 4 единицы влево. Это означает, что каждая точка графика $y = x^2$ смещается на 4 единицы влево. Вершина параболы, которая у $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$, переместится в точку $(-4, 0)$. Направление ветвей параболы не изменится — они по-прежнему будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 4)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 4 единицы влево.

г) $y = -(x - 3)^2$

Построение графика функции $y = -(x - 3)^2$ выполняется в два этапа:
1. Сначала строим график функции $y = (x - 3)^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс $Ox$ на 3 единицы вправо. Вершина параболы переместится в точку $(3, 0)$, ветви направлены вверх.
2. Затем, полученный график $y = (x - 3)^2$ симметрично отражаем относительно оси абсцисс $Ox$. Вершина параболы останется в точке $(3, 0)$, но ее ветви изменят направление и будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо и затем отраженная относительно оси $Ox$.