Страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

106. Изобразите схематически график каждой функции (отметьте вершину параболы и направление её ветвей):

а) $y = \frac{1}{2}x^2$, $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$, $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$;

б) $y = -\frac{1}{3}x^2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$;

в) $y = \frac{1}{5}x^2$, $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$, $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$.

Для схематического изображения графика каждой функции (параболы) необходимо определить координаты её вершины и направление ветвей. Общий вид уравнения параболы $y = a(x - m)^2 + n$, где $(m, n)$ — координаты вершины. Направление ветвей зависит от знака коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

а)

Рассмотрим функции $y = \frac{1}{2}x^2$, $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$, $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$. Все эти графики являются параболами с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$.

1. Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$ (или $y = \frac{1}{2}(x - 0)^2 + 0$):
   Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

2. Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$ (или $y = \frac{1}{2}(x - 0)^2 + 4$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
   Ветви направлены вверх.

3. Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$ (или $y = \frac{1}{2}(x - 0)^2 - 3$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ сдвигом на 3 единицы вниз по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.
   Ветви направлены вверх.

Ответ: Для $y = \frac{1}{2}x^2$ вершина в $(0, 0)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$ вершина в $(0, 4)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$ вершина в $(0, -3)$, ветви вверх.

б)

Рассмотрим функции $y = -\frac{1}{3}x^2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$. Все эти графики являются параболами с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$.

1. Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ (или $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 + 0$):
   Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   Ветви направлены вниз.

2. Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$ (или $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 + 2$):
   Этот график получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.
   Ветви направлены вниз.

3. Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$ (или $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 - 1$):
   Этот график получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.
   Ветви направлены вниз.

Ответ: Для $y = -\frac{1}{3}x^2$ вершина в $(0, 0)$, ветви вниз. Для $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$ вершина в $(0, 2)$, ветви вниз. Для $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$ вершина в $(0, -1)$, ветви вниз.

в)

Рассмотрим функции $y = \frac{1}{5}x^2$, $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$, $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$. Все эти графики являются параболами с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{5} > 0$.

1. Для функции $y = \frac{1}{5}x^2$ (или $y = \frac{1}{5}(x - 0)^2 + 0$):
   Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

2. Для функции $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$ (или $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2 + 0$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы вправо по оси Ox.
   Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

3. Для функции $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$ (или $y = \frac{1}{5}(x - (-3))^2 + 0$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox.
   Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

Ответ: Для $y = \frac{1}{5}x^2$ вершина в $(0, 0)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{5}(x-3)^2$ вершина в $(3, 0)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{5}(x+3)^2$ вершина в $(-3, 0)$, ветви вверх.

107. С помощью шаблона параболы $y = x^2$ постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4;$

б) $y = -x^2 + 3;$

в) $y = (x - 5)^2;$

г) $y = (x + 3)^2.$

Для построения графиков указанных функций используется метод преобразования графика базовой функции, которой в данном случае является парабола $y = x^2$. График этой параболы симметричен относительно оси OY, его вершина находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

а)

График функции $y = x^2 - 4$ получается из графика параболы $y = x^2$ с помощью параллельного переноса (сдвига). Это преобразование вида $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = -4$.

Поскольку $c < 0$, сдвиг выполняется вниз вдоль оси ординат (оси OY) на $|c| = 4$ единицы. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, -4)$. Форма параболы при этом не меняется.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = x^2 - 4$, необходимо сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 4 единицы вниз вдоль оси OY.

б)

Для построения графика функции $y = -x^2 + 3$ из графика $y = x^2$ необходимо выполнить два последовательных преобразования:

1. Сначала выполняется симметричное отражение графика $y = x^2$ относительно оси абсцисс (оси OX). В результате этого преобразования мы получаем график функции $y = -x^2$. Ветви этой параболы направлены вниз, а вершина по-прежнему находится в точке $(0, 0)$.

2. Затем выполняется параллельный перенос графика $y = -x^2$ вверх вдоль оси ординат (оси OY) на 3 единицы, так как к функции прибавляется положительное число 3. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, 3)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -x^2 + 3$, нужно график параболы $y = x^2$ сначала отразить симметрично относительно оси OX, а затем полученный график сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси OY.

в)

График функции $y = (x - 5)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Это преобразование вида $y = f(x - l)$, где $f(x) = x^2$ и $l = 5$.

Поскольку $l > 0$, сдвиг выполняется вправо вдоль оси абсцисс (оси OX) на $l = 5$ единиц. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(5, 0)$. Форма параболы и направление ветвей не меняются.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = (x - 5)^2$, необходимо сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 5 единиц вправо вдоль оси OX.

г)

График функции $y = (x + 3)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ с помощью параллельного переноса. Это преобразование можно представить в виде $y = f(x - l)$, переписав функцию как $y = (x - (-3))^2$. Здесь $f(x) = x^2$ и $l = -3$.

Поскольку $l < 0$, сдвиг выполняется влево вдоль оси абсцисс (оси OX) на $|l| = 3$ единицы. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ перемещается в точку $(-3, 0)$. Форма параболы и направление ветвей не меняются.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = (x + 3)^2$, необходимо сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 3 единицы влево вдоль оси OX.

108. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график функции:

а) $y = x^2 + 2$;

б) $y = -x^2 - 1$;

в) $y = (x + 4)^2$;

г) $y = -(x - 3)^2$.

Для построения графиков заданных функций будем использовать преобразования графика базовой функции $y=x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.

а) $y = x^2 + 2$

График функции $y = x^2 + 2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат $Oy$ на 2 единицы вверх. Это означает, что каждая точка графика $y = x^2$ смещается на 2 единицы вверх. Вершина параболы, которая у $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$, переместится в точку $(0, 2)$. Направление ветвей параболы не изменится — они по-прежнему будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вверх.

б) $y = -x^2 - 1$

Построение графика функции $y = -x^2 - 1$ выполняется в два этапа:
1. Сначала строим график функции $y = -x^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс $Ox$. Вершина параболы останется в точке $(0, 0)$, но ее ветви будут направлены вниз.
2. Затем, полученный график $y = -x^2$ сдвигаем параллельным переносом вдоль оси ординат $Oy$ на 1 единицу вниз. Вершина параболы из точки $(0, 0)$ переместится в точку $(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 1$ — это парабола $y = x^2$, отраженная относительно оси $Ox$ и сдвинутая на 1 единицу вниз.

в) $y = (x + 4)^2$

График функции $y = (x + 4)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс $Ox$ на 4 единицы влево. Это означает, что каждая точка графика $y = x^2$ смещается на 4 единицы влево. Вершина параболы, которая у $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$, переместится в точку $(-4, 0)$. Направление ветвей параболы не изменится — они по-прежнему будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 4)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 4 единицы влево.

г) $y = -(x - 3)^2$

Построение графика функции $y = -(x - 3)^2$ выполняется в два этапа:
1. Сначала строим график функции $y = (x - 3)^2$. Он получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс $Ox$ на 3 единицы вправо. Вершина параболы переместится в точку $(3, 0)$, ветви направлены вверх.
2. Затем, полученный график $y = (x - 3)^2$ симметрично отражаем относительно оси абсцисс $Ox$. Вершина параболы останется в точке $(3, 0)$, но ее ветви изменят направление и будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 3 единицы вправо и затем отраженная относительно оси $Ox$.