Номер 106, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

106. Изобразите схематически график каждой функции (отметьте вершину параболы и направление её ветвей):

а) $y = \frac{1}{2}x^2$, $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$, $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$;

б) $y = -\frac{1}{3}x^2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$;

в) $y = \frac{1}{5}x^2$, $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$, $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$.

Для схематического изображения графика каждой функции (параболы) необходимо определить координаты её вершины и направление ветвей. Общий вид уравнения параболы $y = a(x - m)^2 + n$, где $(m, n)$ — координаты вершины. Направление ветвей зависит от знака коэффициента $a$: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

а)

Рассмотрим функции $y = \frac{1}{2}x^2$, $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$, $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$. Все эти графики являются параболами с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$.

1. Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$ (или $y = \frac{1}{2}(x - 0)^2 + 0$):
   Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

2. Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$ (или $y = \frac{1}{2}(x - 0)^2 + 4$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
   Ветви направлены вверх.

3. Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$ (или $y = \frac{1}{2}(x - 0)^2 - 3$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ сдвигом на 3 единицы вниз по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, -3)$.
   Ветви направлены вверх.

Ответ: Для $y = \frac{1}{2}x^2$ вершина в $(0, 0)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$ вершина в $(0, 4)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$ вершина в $(0, -3)$, ветви вверх.

б)

Рассмотрим функции $y = -\frac{1}{3}x^2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$, $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$. Все эти графики являются параболами с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$.

1. Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2$ (или $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 + 0$):
   Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   Ветви направлены вниз.

2. Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$ (или $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 + 2$):
   Этот график получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$.
   Ветви направлены вниз.

3. Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$ (или $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 - 1$):
   Этот график получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз по оси Oy.
   Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.
   Ветви направлены вниз.

Ответ: Для $y = -\frac{1}{3}x^2$ вершина в $(0, 0)$, ветви вниз. Для $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$ вершина в $(0, 2)$, ветви вниз. Для $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$ вершина в $(0, -1)$, ветви вниз.

в)

Рассмотрим функции $y = \frac{1}{5}x^2$, $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$, $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$. Все эти графики являются параболами с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент $a = \frac{1}{5} > 0$.

1. Для функции $y = \frac{1}{5}x^2$ (или $y = \frac{1}{5}(x - 0)^2 + 0$):
   Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

2. Для функции $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$ (или $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2 + 0$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы вправо по оси Ox.
   Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

3. Для функции $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$ (или $y = \frac{1}{5}(x - (-3))^2 + 0$):
   Этот график получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы влево по оси Ox.
   Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.
   Ветви направлены вверх.

Ответ: Для $y = \frac{1}{5}x^2$ вершина в $(0, 0)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{5}(x-3)^2$ вершина в $(3, 0)$, ветви вверх. Для $y = \frac{1}{5}(x+3)^2$ вершина в $(-3, 0)$, ветви вверх.